Совершенно точная абстрактная математическая теория действительных чисел была построена только в XIX веке такими математиками, как Дедекинд и Вейерштрасс. Но в действительности, предложенная ими процедура опиралась на те же идеи, которые были открыты Евдоксом примерно двадцатью двумя столетиями раньше! Сейчас нам не обязательно заниматься подробным изучением этой современной теории. Я кратко коснулся ее основных моментов в главе 3 (подглава «Действительные числа»), где для большей наглядности изложения предпочел использовать более привычное десятичное разложение действительных чисел. (В действительности, десятичное разложение была введено Стевином в 1585 году.) Следует также заметить, что хорошо знакомая нам десятичная запись была неизвестна древним грекам.

Однако, между теориями, предложенными Евдоксом с одной стороны, и Дедекиндом и Вейерштрассом — с другой, существует важное различие. Древние греки рассматривали действительные числа как изначально данные — в терминах (отношений) геометрических величин — т. е. как свойства «реального» пространства. Древним грекам было необходимо иметь возможность описывать геометрические величины арифметически, чтобы затем в рамках законов и правил арифметики проводить строгие рассуждения над этими геометрическими величинам, а также их суммами и произведениями — существенными составляющими столь многих замечательных геометрических теорем древних. (На рис. 5.3 в качестве иллюстрации приведена знаменитая теорема Птолемея, хотя Птолемей открыл ее гораздо позже эпохи, в которую жил Евдокс. Теорема Птолемея устанавливает соотношение, которому удовлетворяют расстояния между четырьмя точками на окружности; в ее формулировке с необходимостью используются как понятие суммы, так и понятие произведения.) Критерии Евдокса оказались необычайно плодотворными и, в частности, позволили древним грекам строго вычислять площади и объема.

Но для математиков XIX века — и, разумеется, для современных математиков роль геометрии изменилась. Для древних греков и, в частности, для Евдокса, «действительные» числа были объектами, извлеченными из геометрии физического пространства. Ныне мы предпочитаем считать, что действительные числа логически более первичны, чем геометрия. Это позволяет нам конструировать всевозможные различные типы геометрии, каждый из которых исходит из понятия числа. (Ключевой идеей была идея координатной геометрии, введенная в XVII веке Ферма и Декартом. Координаты можно использовать для определения других типов геометрии.) Любая такая «геометрия» должна быть логически непротиворечивой, но не обязательно должна иметь прямое отношение к физическому пространству нашего эмпирического опыта. Конкретную физическую геометрию мы, по-видимому, постигаем через идеализацию эмпирического опыта (т. е. в зависимости от наших экстраполяций на бесконечно большие или бесконечно малые размеры, — см. главу 3, подглава «„Действительность“ действительных чисел»). Проводимые ныне эксперименты достаточно точны и приводят нас с необходимостью к заключению, что наша «извлеченная из эмпирического опыта» геометрия в действительности отличается от евклидова идеала (см. гл.5, конец подглавы «Общая теория относительности Эйнштейна») и согласуется с геометрией, требуемой в общей теорией относительности Эйнштейна. Однако, несмотря на изменения в наших взглядах на геометрию физического мира, возникших в настоящее время, понятие действительного числа, выдвинутое Евдоксом двадцать три столетия назад, по существу осталось неизменным и является существенным ингредиентом как теории Эйнштейна, так и теории Евклида. В действительности это понятие служит существенным ингредиентом всех современных серьезных физических теорий!

Пятая книга Начал Евклида бьша, по существу, изложением описанной выше «теории пропорций», введенной Евдоксом. Эта книга имела принципиально важное значение для всего многотомного сочинения Евклида в целом. На самом деле, Начала Евклида, впервые увидевшие свет около 300 года до н. э., должны считаться одним из сочинений, оказавших наибольшее влияние в истории человечества. Именно Начала Евклида установили эталон для почти всего последующего естественнонаучного и математического мышления. Методы Начал были дедуктивными, изложение начиналось с четко сформулированных аксиом, которые предполагались «самоочевидными» свойствами пространства; из аксиом выводились многочисленные следствия, многие из которых были важными и поразительными, и совсем не самоочевидными. Не подлежит сомнению, что Начала Евклида имели огромное значение для последующего развития естественнонаучного мышления.

Величайшим математиком древности несомненно был Архимед (287–212 гг. до н. э.). Остроумно используя теорию пропорций Евдокса, Архимед вычислил площади и объемы многих фигур и тел различной формы, например, сферы и более сложных геометрических форм, в том числе парабол или спиралей. Ныне для этих целей мы использовали бы дифференциальное и интегральное исчисление, но Архимед жил и творил примерно за 19 веков до создания математического анализа, разработанного Ньютоном и Лейбницем! (Можно было бы сказать, что добрая половина — «интегральная» половина — математического анализ была известна еще Архимеду!) Степень математической строгости, достигнутой Архимедом в своих рассуждениях, была безупречной даже по современным стандартам. Работы Архимеда оказали глубокое влияние на математиков и естествоиспытателей последующих веков, в частности, в значительной мере на Галилея и Ньютона. Архимед также ввел (ПРЕВОСХОДНУЮ?) физическую теорию статики (т. е. теорию, занимающуюся изучением законов поведения тел, находящихся в состоянии равновесия, например, законов рычага и законов плавающих тел) и развил статику как дедуктивную науку, аналогично тому, как Евклид изложил науку о геометрическом пространстве и геометрию твердых тел.

Современником Архимеда, которого я также считаю необходимым отметить, был Аполлоний (ок. 262–200 гг. до н. э.), великий геометр, отличавшийся глубиной озарений и остроумием. Ему мы обязаны исследованием теории конических сечений (т. е. эллипсов, парабол и гипербол), которая оказала весьма сильное влияние на Кеплера и Ньютона. Оказалось, что именно эти кривые, что весьма примечательно, необходимы для описания планетных орбит!

Глубоким прорывом, принесенным в естествознание XVII веком, стало понимание движения. Древние греки достигли замечательного понимания статики вещей — твердых геометрических тел или тел, находящихся в состоянии равновесия (т. е. в состоянии, в котором все действующие на тело силы уравновешены, и движения нет), но не имели хорошего представления о законах, управляющих поведением реально движущихся тел. Чего недоставало древним грекам, это хорошей теории динамики, т. е. теории, описывающей тот красивый способ, каким природа управляет изменениями положения тел от одного момента времени к другому. Частично (но отнюдь не полностью) это объясняется тем, что у древних греков не было никаких сколь-нибудь точных средств измерения времени, т. е. достаточно хороших «часов». Такие часы необходимы для точного хронометрирования изменений в положении тел. Это позволило бы точно определить скорости и ускорения тел. Наблюдения, произведенные Галилеем в 1583 году, показали, что в качестве надежного средства хранения точного времени можно было бы использовать маятник. Этот факт имел далеко идущие последствия для самого Галилея (и для развития всего естествознания в целом!), так как позволял осуществить точное[106] хронометрирование движения. Примерно через сорок пять лет — с публикацией в 1638 году Бесед и математических доказательств, касающихся двух новых отраслей науки Галилея — начал развиваться новый предмет — динамика, и началась трансформация от древнего мистицизма к современной науке!