r² = x² + y² + z²

(См. рис. 5.18 а. Это — всего лишь теорема Пифагора; возможно, двумерный вариант этого соотношения более привычен читателю.) В нашей трехмерной геометрии Минковского выражение для расстояния очень похоже на евклидово (рис. 5.18 б); существенное отличие состоит в том, что в геометрии Минковского это выражение содержит два знака минус:

Каков физический смысл величины «расстояния» s в этом выражении? Предположим, что мы рассматриваем точку Р с координатами (t, x/c, y/c, z/c), или (t, x/c, z/c) в трехмерном случае; см. рис. 5.16 — она лежит в световом конусе (будущего) точки О. Тогда прямолинейный отрезок ОР может представлять часть истории какой-то материальной частицы, например, испущенной при взрыве. «Длина» Минковского s отрезка ОР допускает прямую физическую интерпретацию. Это — продолжительность (длина) интервала времени, реально прожитого частицей между событиями О и Р! Иначе говоря, если бы существовали очень прочные и точные часы, намертво прикрепленные к частице[122], то разность между их показаниями в точках О и Р составила бы ровно s единиц времени. Вопреки ожиданиям, величина t сама по себе не описывает время, измеряемое этими гипотетическими часами — за исключением того случая, когда часы «покоятся» в нашей системе координат (т. е. имеют фиксированные значения координат х/с, у/с, z/c), а это означает, что мировая линия часов имеет на «картине» вид вертикальной прямой. Таким образом, t будет задавать «время» только для тех наблюдателей, которые «стационарны» (т. е. чьи мировые линии — «вертикальные» прямые). Правильной мерой времени для движущегося (равномерно и прямолинейно из начала координат О) наблюдателя, согласно специальной теории относительности, служит величина s. Заключение, к которому мы пришли, весьма удивительно и полностью расходится с находящейся в согласии со «здравым смыслом» галилеево-ньютони-анской мерой времени, которая просто совпадает с координатным значением t. Обратите внимание на то, что релятивистская (в смысле Минковского) мера времени s всегда несколько меньше, чем t, если вообще существует какое-то движение (так как s² меньше, чем t², коль скоро не все координаты х/с, у/с, z/c равны нулю), как это следует из приведенной выше формулы. Наличие движения (т. е. случай, когда отрезок ОР расположен не вдоль оси t) приводит к «замедлению» хода часов по сравнению с t, иными словами, по отношению к показаниям часов в нашей системе отсчета. Если скорость движения мала по сравнению с с, то величины s и t почти совпадают, чем объясняется то, что мы непосредственно не ощущаем «замедление хода движущихся часов». В другом предельном случае, когда скорость движения совпадает со скоростью света, точка Р лежит на световом конусе, и мы получаем s = 0. Световой конус есть не что иное, как геометрическое место точек, для которых «расстояние» в смысле Минковского (т. е. «время») от начала координат О действительно равно нулю. Таким образом, фотон вообще «не ощущает», как течет время! (Мы не можем позволить себе рассматривать еще более экстремальный случай, когда точка Р движется у самой поверхности снаружи светового конуса, так как это привело бы к мнимому значению s — квадратному корню из отрицательного числа, и нарушило бы правило, согласно которому материальные частицы, или фотоны, не могут двигаться быстрее света.)[123]

Понятие «расстояния» в смысле Минковского одинаково хорошо применимо к любой паре точек в пространстве-времени, одна из которых лежит внутри световою конуса другой, так что частица может двигаться из одной точки в другую. Мы просто будем считать, что начало координат О перенесено в какую-то иную точку пространства-времени. Кроме того, расстояние по Минковскому между точками соответствует интервалу времени, отсчитываемого часами, которые равномерно и прямолинейно движутся из одной точки в другую. Когда в качестве частицы выступает фотон, и расстояние в смысле Минковского обращается в нуль, мы получаем две точки, одна из которых лежит на световом конусе другой — что позволяет строить световой конус для последней.

Основная структура геометрии Минковского со столь причудливой мерой «длины» мировых линий, интерпретируемой как время, измеряемое (или «прожитое») физическими часами, несет в себе самую суть специальной теории относительности. В частности, читателю, возможно, известен так называемый «парадокс близнецов» в СТО:

один из братьев-близнецов остается на Земле, другой совершает путешествие на соседнюю звезду, двигаясь туда и обратно с огромной скоростью, приближающейся к скорости света. По возвращении выясняется, что близнецы состарились неодинаково: путешественник все еще молод, а его брат, остававшийся на Земле, стал дряхлым стариком. «Парадокс близнецов» легко описывается в терминах геометрии Минковского, и всякий может без труда понять, почему это явление — хотя и способное озадачить — парадоксальным все же не является. Мировая линия АС принадлежит тому из близнецов, который остается дома, тогда как мировая линия близнеца-путешествен-ника состоит из двух отрезков А В и ВС, соответствующих полету на звезду и возвращению на Землю (рис. 5.19).

Близнец-домосед проживает время, измеряемое расстоянием в смысле Минковского АС, тогда как близнец-путешественник проживает время, измеряемое суммой[124] двух расстояний АВ и ВС. Эти времена не равны, и мы обнаруживаем, что

АС > АВ + ВС.

Это неравенство показывает, что время, прожитое близнецом-домоседом, действительно больше времени, прожитого близнецом-путешественником.

Полученное неравенство очень похоже на хорошо известное неравенство треугольника из обычной евклидовой геометрии (А, B и С теперь — три точки в евклидовом пространстве):

АС < АВ + ВС,

которое утверждает, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Это неравенство мы не считаем парадоксом! Мы прочно усвоили идею о том, что евклидова мера расстояния вдоль пути из одной точки в другую (в нашем случае — из А в С), зависит от того, какой путь мы в действительности выберем. (В рассматриваемом примере двумя путями служат АС и более длинный изломанный маршрут ABC.) Неравенство треугольника — частный случай общего утверждения, которое гласит, что кратчайшее расстояние между двумя точками (в данном случае А и С) измеряется по прямой, их соединяющей (отрезок АС). Изменение знака неравенства на обратный при измерении расстояний в смысле Минковского происходит вследствие изменения знаков в определении «расстояния», в результате чего отрезок АС, измеряемый по Минковскому, оказывается «длиннее», чем ломаный маршрут ABC. Таким образом, «неравенство треугольника» в геометрии Минковского в более обобщенной формулировке говорит о том, что самой длинной (в смысле наибольшего прожитого времени) среди мировых линий, соединяющих два события, является прямая (т. е. траектория, соответствующая равномерному движению). Если оба близнеца стартуют из точки А и завершают свой путь в точке С, и при этом первый близнец движется прямо из А в С без ускорения, а второй — с ускорением, то первый близнец к моменту встречи со вторым всегда успевает прожить более длинный интервал времени.