P(s, b) х Р(b, р).

Если открыты оба отверстия, то вероятность того, что шарик попадает из s в точку р через t, по-прежнему равна первому произведению P(s, t) х P(t, р) (так, как если бы было открыто только отверстие t), и вероятность того, что шарик попадает из точки s в точку р через b, по-прежнему равна P(s, b) х Р(b, р). Поэтому полная вероятность P(s, р) того, что шарик, побывав в точке р, попадет в точку s, равна сумме двух приведенных выше вероятностей:

P(s, р) = P(s, t) х P(t, р) + P(s, b) x P(b, p).

На квантовом уровне эти правила остаются в точности такими же, с тем лишь исключением, что теперь роль вероятностей, с которыми мы имели дело в классическом случае, должны играть эти странные комплексные амплитуды. Например, в рассмотренном выше эксперименте с двумя щелями мы имеем амплитуду A(s, t) того, что фотон достигнет верхней щели t из источника s, и амплитуду A(t, р) того, что фотон достигнет точки р на экране из щели t, и, перемножив эти амплитуды, мы получим амплитуду

A(s, t) х A(t, p)

того, что фотон достигнет точки р на экране через щель t. Как и в случае вероятностей, это — правильная амплитуда в предположении, что верхняя щель открыта независимо от того, открыта или не открыта нижняя щель b. Аналогично, в предположении, что открыта нижняя щель b, мы получаем амплитуду

A(x, b) х А(b, р)

того, что фотон достигнет точки р на экране через щель b (независимо от того, открыта или не открыта верхняя щель t). Если же открыты обе щели, то мы получаем полную амплитуду

A(s, р) = A(s, t) х A(t, р) + A(s, b) х A(b, р)

того, что фотон попадает в точку р из точки s.

Все это очень мило, но совершенно бесполезно, пока мы не знаем, как интерпретировать амплитуды, когда квантовый эффект увеличивается до классического уровня. Мы могли бы, например, поместить детектор фотонов, или фотоячейку в точке р, что дало бы нам способ увеличения события, происходящего на квантовом уровне, — прибытия фотона в точку р — до события, различимого на классическом уровне, скажем, громкого «щелчка». (С таким же успехом можно было бы взять в качестве экрана фотопластинку, на которой фотон оставляет видимое пятнышко, но для большей доходчивости мы все же воспользуемся фотоячейкой, издающей при срабатывании звуковой сигнал.) Должна существовать реальная вероятность того, что произойдет восприятие звукового «щелчка», а не одной из этих загадочных «амплитуд»! Как нам перейти от амплитуд к вероятностям, когда мы переходим с квантового уровня на классический? Оказывается, что для этого существует очень красивое, но удивительное правило.

Правило это состоит в том, что для получения классической вероятности, необходимо взять квадрат модуля квантовой комплексной амплитуды. Что такое «квадрат модуля»? Напомним как изображаются комплексные числа на плоскости Аргана (глава 3, с. 84). Модуль |z| комплексного числа z есть просто расстояние от начала координат (т. е. от точки 0) до точки, изображающей число z. Квадрат модуля |z|² — просто квадрат этого числа. Таким образом, если

z = х + iy,

где x и у — действительные числа, то (по теореме Пифагора, так как отрезок прямой, соединяющий точки 0 и z, служит гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами х и у) квадрат модуля равен

|z|² = х² + у².

Заметим, что для того, чтобы это выражение было настоящей «нормированной» вероятностью, значение |z|² должно быть заключено между 0 и 1. Это означает, что для того, чтобы быть надлежащим образом нормированной амплитудой, точка z на плоскости Аргана должна лежать где-то внутри единичной окружности (рис. 6.8).

Однако иногда возникает необходимость рассматривать комбинации

ω х альтернатива А + z х альтернатива В,

где ω и z — всего лишь пропорциональны амплитудам вероятностей и поэтому не должны лежать внутри единичной окружности. Условие их нормированности (и, следовательно, того, что они дают настоящие амплитуды вероятностей) заключается в том, что сумма квадратов их модулей должна быть равна единице:

|ω|² + |z|² = 1.

Если числа ω и z не удовлетворяют этому условию нормировки, то настоящими амплитудами вероятностей альтернатив А и В, соответственно, служат величины

которые лежат внутри единичной окружности.

Теперь мы видим, что амплитуда вероятности в конечном счете представляет собой аналог не настоящей вероятности, а скорее «комплексного квадратного корня» из вероятности. Что происходит с ней, когда эффекты квантового уровня увеличиваются настолько, что достигают классического уровня? Напомним, что, манипулируя с вероятностями и амплитудами, мы иногда сталкивались с необходимостью производить их умножение и сложение. Прежде всего заметим, что операция умножения не сопряжена с какими-либо проблемами при переходе от квантовых правил к классическим. Происходит это вследствие замечательного математического факта: квадрат модуля произведения двух комплексных чисел равен произведению квадратов модулей каждого из чисел:

|zω|² = |z|² |ω|^2.

(Это свойство непосредственно следует из геометрического смысла произведения двух комплексных чисел, приведенного в главе 3, но на языке действительной и мнимой частей z = х + iу, ω = u+iv; это — прекрасное маленькое чудо. Проверьте сами!)

Из этого факта следует, что если в эксперименте с двумя щелями для частицы существует только один маршрут (открыта только одна щель, например t), то рассуждения можно строить «классически», и вероятности получатся одними и теми же, независимо от того, наблюдаем ли мы за прохождением частицы в промежуточных точках ее пути (в щели t)[142]. А квадраты модулей можно будет взять на любой стадии наших вычислений, например,