|→) = |↑) + |↓) и |←) = |↑) — |↓).

Это позволяет нам по-новому взглянуть на ситуацию. Любое спиновое состояние электрона есть линейная суперпозиция двух ортогональных состояний |→) и |←),т. е. спинов направо и налево. Можно выбрать какое-нибудь совершенно произвольное направление, например, вектор состояния.

Он также является линейной комбинацией спинов |↑) и |↓) с некоторыми комплексными коэффициентами, скажем,

а любое спиновое состояние было бы представимо в виде линейной комбинации этого состояния

и ортогонального ему[156] состояния

(Заметим, что понятие «ортогональный» в гильбертовом пространстве не обязательно означает «образующий прямой угол с…» в обычном пространстве. Ортогональные вектора состояния в гильбертовом пространстве в данном случае соответствуют диаметрально противоположным направлениям, а не образующим друг с другом прямой угол.)

Каково геометрическое соотношение между направлением в пространстве, определяемым спином

и двумя комплексными числами ω и z? Так как физическое состояние, задаваемое спином

останется неизменным, если мы умножим

на любое ненулевое комплексное число, то значение имеет только отношение числа z к числу ω. Обозначим это отношение через

q = z/ω .

Тогда q будет обычным комплексным числом за исключением того, что теперь ему разрешено принимать значение q = ∞, чтобы не упускать из рассмотрения ситуацию с ω = 0, т. е. когда спин направлен вертикально вниз. Если q ≠ ∞, то мы можем представить q как точку на плоскости Аргана, как мы делали это в главе 3. Представим себе, что эта плоскость Аргана расположена горизонтально в пространстве, причем действительная ось направлена вправо в вышеуказанном смысле (т. е. в направлении спинового состояния |→) ). Представим теперь сферу единичного радиуса, центр которой совпадает с началом координат плоскости Аргана, а точки 1, i, — 1, -i лежат на экваторе этой сферы. Рассмотрим точку, совпадающую с южным полюсом этой сферы, который мы обозначим ∞. Осуществляя проекцию из южного полюса, мы отобразим всю плоскость Аргана на нашу единичную сферу. В результате любая точка q на плоскости Аргана окажется поставленной в соответствие единственной точке q на этой сфере, лежащей на прямой, соединяющей эти две точки с южным полюсом (рис. 6.25).

Такое соответствие называется стереографической проекцией и обладает многими красивыми геометрическими свойствами (например, сохраняет углы и отображает окружности в окружности). Такая проекция позволяет нам параметризовать точки сферы комплексными числами вместе с ∞, т. е. множеством возможных комплексных отношений q. Сфера, параметризованная таким образом, называется сферой Римана. Геометрический смысл сферы Римана для спиновых состояний электрона состоит в том, что направление спина, задаваемое соотношением

определяется реальным направлением из центра в точку q = z/ω, как показано на изображении сферы Римана. Заметим, что северный полюс соответствует состоянию |↑), задаваемому соотношением z = 0, т. е. q = 0, а южный полюс — состоянию |↓), задаваемому соотношением ω = 0, т. е. q = ∞. Самая правая точка сферы Римана помечена значением q = 1, что соответствует состоянию |→) = |↑) + |↓) а самая левая точка сферы Римана соответствует q = -1, что дает спиновое состояние |←) = |↑) — |↓). Самая дальняя задняя точка сферы Римана помечена значением q = i, соответствующим состоянию |↑) + i |↓), в котором спин направлен прямо от нас, а самая близкая точка сферы Римана помечена значением q = — i, соответствующим состоянию |↑) — i |↓), в котором спин направлен прямо к нам. Произвольная точка, помеченная q, соответствует состоянию |↑) + q |↓).

Как все это связано с измерением, которое можно было бы произвести над спином электрона?[157] Выберем некоторое направление в пространстве и обозначим его а. Если мы измеряем спин электрона в этом направлении, то ответ ДА означает, что электрон (теперь) действительно вращается слева направо вокруг направления а, в то время как ответ НЕТ означает, что электрон вращается слева направо вокруг направления, противоположного α.

Предположим, что мы получили ответ ДА, и обозначим результирующее состояние |α). Если мы просто повторим измерение, используя в точности такое же направление α, как прежде, то с вероятностью 100 % обнаружим, что ответ будет ДА. Но если при втором измерении мы изменим направление и выберем новое направление β, то обнаружим, что вероятность ответа ДА (состояние перепрыгивает в |β)) будет несколько меньшей, и существует некоторая возможность появления во втором измерении ответа НЕТ (состояние перепрыгивает в направление, противоположное β). Как нам вычислить эту вероятность? Ответ на этот вопрос содержится в предписаниях, приведенных в конце предыдущего раздела. Вероятность ответа ДА для второго измерения оказывается равной

1/2 (1+cos v)

где v — угол между направлениями[158] α и β. Соответственно, вероятность ответа НЕТ для второго измерения равна

1/2 (1 — cos v)

Отсюда видно, что если второе измерение производится под прямым углом к первому, то вероятность составляет 50 % в обоих случаях (cos 90° = 0); результат второго измерения полностью случаен! Если угол между двумя измерениями острый, то ответ ДА более вероятен, чем ответ НЕТ. Если этот угол — тупой, то ответ НЕТ более вероятен, чем ДА. В предельном случае, когда направление β противоположно направлению α, вероятность равна 0 для ответа ДА и 100 % для ответа НЕТ, т. е. результат второго измерения заведомо обратен результату первого измерения. (См. Фейнман и др. [1965] для дальнейшего знакомства со спином.)