Чтобы получить некоторое представление о том, насколько сложнее задать функцию двух положений по сравнению с двумя функциями положения, представим себе ситуацию, в которой существует лишь конечный набор допустимых положений. Предположим, что разрешены ровно 10 положений, заданных (ортонормированными) состояниями

Тогда состояние |φ) одной частицы было бы какой-то линейной комбинацией

где различные коэффициенты z₀, z₁, z₂,…., z₉ дают, соответственно, амплитуды того, что частица находится попеременно в каждой из 10 точек. Десять комплексных чисел задают состояние одной частицы. В случае двухчастичного состояния нам понадобилось бы по одной амплитуде для каждой пары положений. Всего существуют

10² = 100

различных (упорядоченных) пар положений, поэтому нам потребовались бы 100 комплексных чисел! А если бы у нас были только два одночастичных состояния (т. е. «две функции положения», а не «одна функция двух положений», как в приведенном выше примере), то нам понадобилось бы всего лишь 20 комплексных чисел.

Пронумеруем эти 100 комплексных чисел следующим образом

а соответствующие (ортонормированные) базисные векторы[162]

Тогда общее двухчастичное состояние можно было бы представить в виде

Такое обозначение состояний в виде «произведения» имеет следующий смысл: если |α) — возможное состояние первой частицы (не обязательно состояние с определенным положением) и если |β) — возможное состояние второй частицы, то состояние, в котором первая частица находится в состоянии |α), а вторая — в состоянии |β), можно представить в виде

|α) |β).

«Произведения» можно также брать между любыми другими парами квантовых состояний, а не обязательно между парами одночастичных состояний. Таким образом, мы всегда интерпретируем состояние-произведение |α) |β) (не обязательно состояний отдельных частиц) как конъюнкцию

«первая система находится в состоянии |α)» и

«вторая система находится в состоянии |β)»

(Аналогичная интерпретация справедлива и относительно |α) |β) |γ) и т. д.; см. далее.) Однако общее двухчастичное состояние в действительности не имеет вид «произведения». Например, оно может быть представимо в виде

|α)|β) + |ρ)|σ),

где |ρ) — еще одно возможное состояние первой системы,

а |σ) — еще одно возможное состояние второй системы. Это состояние представляет собой линейную суперпозицию, а именно: суперпозицию первой конъюнкции состояний |α) и |β) плюс вторая конъюнкция состояний |ρ) и |σ), и не может быть представлено в виде простого произведения (т. е. как конъюнкция двух состояний). Еще один пример — состояние |α)|β) — |ρ)|σ) описывало бы другую такую линейную суперпозицию. Заметим, что квантовая механика требует проведения четкого различия между смыслом слов «плюс» и «и». И в обращении с этими словами нам следует быть более осторожными!

В случае трех частиц ситуация во многом аналогична. Чтобы задать общее трехчастичное состояние в приведенном выше примере, где имеются только 10 возможных положений, нам потребовалось бы теперь 1000 комплексных чисел! Полный базис для трехчастичных состояний состоял бы из следующих элементов:

|0)|0)|0), |0)|0)|1), |0)|0)|2), …, |9)|9)|9).

Частные трехчастичные состояния имели бы вид произведений трех сомножителей

|α)|β)|γ)

(где |α), |β) и |γ) — не обязательно состояния с определенным положением), но для общего трехчастичного состояния нам понадобилось бы построить суперпозицию большого числа состояний типа этих простых «произведений». Соответствующая схема получения общего состояния для четырех и более частиц должна быть очевидна.

До сих пор мы рассматривали случай различимых частиц, когда все частицы: «первая», «вторая», «третья» и т. д. принадлежат к разным типам. Одна из поразительных особенностей квантовой механики заключается в том, что в случае «тождественных» частиц правила коренным образом меняются. Действительно, правила становятся такими, что в самом прямом смысле частицы определенного типа должны быть не просто почти тождественными, а в точности тождественными. Это относится ко всем электронам и ко всем фотонам. Но оказывается, что все электроны тождественны друг другу совсем не так, как тождественны все фотоны! Различие заключается в том, что электроны принадлежат к так называемым фермионам, тогда как фотоны принадлежат к бозонам. Эти два класса частиц надлежит рассматривать весьма различным образом.

Прежде чем я окончательно запутаю читателя этими словесными несуразностями, позвольте мне попытаться объяснить, как действительно следует характеризовать фермионные и бозонные состояния. Правило состоит в следующем. Если |ψ) — состояние, содержащее некоторое число фермионов определенного типа, то при перестановке любых двух фермионов |ψ) должно перейти в — |ψ):

|ψ) → — |ψ)

Если состояние |ψ) содержит некоторое число бозонов определенного типа, то при перестановке любых двух бозонов |ψ) должно перейти в |ψ):

|ψ) → |ψ)

Отсюда следует, что никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Действительно, если бы какие-нибудь два фермиона находились в одном и том же состоянии, то их перестановка вообще никак не сказывалась бы на полном состоянии системы, следовательно должно было бы выполняться — |ψ)=|ψ) т. е. |ψ)=0, что не допустимо для квантового состояния. Это свойство известно как принцип запрета Паули[163], а его следствия для структуры вещества имеют фундаментальный характер. Действительно, все главные составляющие вещества: электроны, протоны и нейтроны принадлежат к числу фермионов. Не будь принципа запрета, вещество бы просто сколлапсировало!

Вернемся к нашему примеру с 10 положениями и предположим теперь, что у нас есть состояние, состоящее из двух тождественных фермионов. Состояние |0)|0) исключается в силу принципа Паули (при перестановке первого множителя со вторым оно переходит в себя вместо того, чтобы переходить в себя со знаком минус). Кроме того, состояние |0)|1) также само по себе должно быть исключено, так как при перестановке множителей знак минус не появляется; но это легко можно исправить, если заменить произведение |0)|1) комбинацией

|0)|1) — |0)|1).