Из этого видно, что решение алгебраического уравнения, разрешимого в радикалах, сводится в конце концов к решению уравнений, каждое из которых зависит от одного параметра. Возникает вопрос, какое наименьшее число параметров должны иметь те уравнения, к которым в конечном счете сводится данное алгебраическое уравнение, неразрешимое в радикалах. На этот вопрос исчерпывающий ответ дал Н. Г. Чеботарев своими глубокими исследованиями по теории непрерывных групп.
«В математике красота играет огромную роль. Нематематик может убедиться в этом внешним образом, перелистывая математические работы и видя на каждом шагу выражения „изящный вывод“ и т. п. При этом споров об „изяществе“ не бывает, так что, по-видимому, вкусы математиков более или менее совпадают. Красота в математике идет рука об руку с целесообразностью: мы редко называем красивыми рассуждения, не приводящие к законченной цели или более длинные, чем это представляется необходимым.
Я представляю собой в математике типичного поклонника математической красоты. У меня нет исследований, которые бы пролагали в математике новые пути и открывали бы новые области. С другой стороны, нет такой области, в которой я чувствовал бы себя большим специалистом: мои знания касаются довольно многих областей, но они не исчерпывающие, а сводятся только к общему знакомству с предметом и методом и к схватыванию главного. Мои работы редко возвращаются к старым темам, и их тематика весьма пестрая. Моя ценность в математике состоит в том, что я берусь за проблемы, которые безуспешно пытались разрешить другие, и решаю их, пользуясь для этого часто неожиданными приемами, заимствованными часто из других отделов математики. Таким образом, я чаще привожу в законченный вид отделы математики, чем начинаю их.
У меня есть две работы с самостоятельно выбранным направлением и довольно широкими перспективами — поверхности переноса и проблема резольвент. Чтобы закончить их, нужно еще несколько сильных ударов. Когда я работаю по „чужому“ направлению, у меня является чисто спортивное желание взять рекорд. А здесь надо быть слишком уверенным в себе, чтобы победить другого, что в избранном направлении можно получить интересные вещи»[88].
«В 1924 году в Одессе ко мне пришел 17-летний молодой человек, Марк Григорьевич Крейн. Он приехал из Киева, не окончивши даже средней школы, но принес самостоятельную работу с очень важным содержанием, которая была напечатана в одесском журнале под названием: „Le systeme derive et les contours derives“. Его знания по математике были значительно выше, чем у сверстников. Мне удалось добиться, чтобы его приняли в аспирантуру. Он стал работать под моим руководством главным образом по теории аналитических функций. У него было замечательное качество — уметь увлекать математикой своих сверстников, и благодаря ему мне удалось организовать в Одессе семинар, на котором, как я помню, ставилось изучение алгебраических функций, а также непрерывных групп. Его интересы вскоре перенеслись на теорию матриц, от них на линейные операторы. После моего отъезда из Одессы он фактически стал главой одесского математического коллектива, приобрел большое количество учеников (свыше 12), составивших школу по функциональному анализу. Теперь он является одним из лучших математиков Украины. Мне очень лестно считать его своим первым учеником»[89].
Николай Николаевич Лузин (1883–1950)
Когда Николаю Лузину исполнилось восемь лет, он поступил учиться в Томскую губернскую гимназию. Но учеба давалась ему нелегко.
Дело в том, что в гимназии в то время процветали формальные методы преподавания, требующие от гимназистов механического заучивания. Формализм процветал и на уроках математики. Ученик был обязан буквально воспроизводить то, что написано в учебнике, по памяти «от сих до сих», используя стиль, способы рассуждения и рисунки учебника. Но Николай Лузин не обладал механической памятью. Вот почему все его старания выучить напамять чужие мысли почти всегда оканчивались неудачей. Для него были трудны история, языки и другие науки, требующие запоминания дат, обстоятельств и слов. Ясно, что математика в том ее виде, как она преподавалась в гимназии, была для него недоступной. Он не мог механически вызубрить материал учебника и каждый раз получал неудовлетворительную оценку, снискав в результате славу плохого ученика. Он явно отставал по истории, языку и… Да, да! Гимназист Лузин, будущий крупнейший математик, как бы парадоксально это ни звучало, отставал по математике! При всем своем старании он не мог угодить учителям, в особенности по математике, которую стал сильно недолюбливать.
Отцу пришлось пригласить для своего сына репетитора, студента только что открытого в Томске политехнического института. И этот студент открыл в гимназисте Лузине математический талант, заставил его полюбить математику, как одну из красивейших и полезнейших наук.
На первом же занятии студент-репетитор (очень жаль, что его фамилия осталась неизвестной) потребовал от гимназиста не механического запоминания, а самостоятельного логического рассуждения. Если требовалось, например, доказать какую-нибудь теорему, то по учебнику нужно было взять, что дано и что требовалось доказать, а само доказательство надо было провести самостоятельно; только в крайнем случае позволялось обращаться к учебнику. Таким образом зубрежка исключалась вовсе! Учебником рекомендовалось пользоваться как руководством для разумного самостоятельного действия.
И что же? Лузину это понравилось. Он даже весь преобразился. Глаза его горели. Щеки покрылись румянцем. Карандаш уверенно стал бегать по страницам черновой тетради. Перебрав с нескрываемым азартом разные пути доказательства, Николай, наконец, натолкнулся на верную дорогу и с большим торжеством пришел к цели. Теорема была доказана. В ряде случаев проведенное доказательство сильно отличалось от обычного, которое имелось в учебнике.
Трудно подыскать слова, чтобы выразить то глубочайшее удовлетворение, которое испытывал гимназист Лузин при таком новом способе изучения математики. То, что в школе для него было настоящим пугалом и предметом откровенной неприязни, стало объектом увлечения и большой любви.
Оказывается, Николай Лузин, совершенно не обладая механической памятью, принесшей ему в первые годы учения в гимназии столько огорчений, обладал прекрасной логической памятью, благодаря которой мог творить «чудеса», делать совершенно правильные умозаключения из наперед заданных предпосылок. Учебники по геометрии и алгебре из скучных и малопонятных превратились в интереснейшие книги, которые можно изучать с большой охотой, если читать творчески, по-своему…
Учеба быстро пошла вперед. Из неуспевающего ученика гимназист Лузин становится вполне успевающим. Математика стала любимой его наукой. Позднее учителя были настолько уверены в его больших познаниях, что, учитывая его слабое здоровье, в порядке исключения переводили из класса в класс без всяких экзаменов.
Лузин окончил гимназию в 1901 году, когда ему было 18 лет, и в том же году поступил на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета. Одаренный молодой человек сразу же окунулся в творческую научную работу, возглавляемую профессорами Б. К. Млодзеевским, К. А. Андреевым, Д. Ф. Егоровым и Н. В. Бугаевым.
Лекции этих профессоров произвели на него исключительное впечатление. Математика в то время представлялась ему широким морем, а математик — бесстрашным Колумбом, бороздящим это море и готовым ко всяким неожиданным открытиям.
По окончании учения (1906) Лузин был оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию. В течение двух лет он сдал магистерские экзамены и получил право преподавания в высшей школе.
