Эйлер ответил, что это предложение совершенно правильное, но строгого доказательства этому предложению он дать не мог. Со своей стороны Эйлер высказал новое предложение (проблема Эйлера): каждое четное число, начиная с четырех, можно разбить на сумму двух простых чисел. Но это утверждение он также доказать не мог.

Заметим, что если бы удалось решить проблему Эйлера, то из нее, как очевидное следствие, вытекала бы справедливость проблемы Гольдбаха. Действительно, любое нечетное число, большее 5, можно представить в виде 2N + 1 = 3 + 2(N-1), где 2(N-1)≥4. Если только проблема Эйлера верна, то четное число 2(N-1) разбивается на сумму двух простых чисел. Ну, а тогда нечетное число 2N+1 разобьется на сумму трех простых слагаемых, и проблема Гольдбаха будет выполняться для всякого нечетного числа, начиная с 7.

Но обратное утверждение, оказывается, не выполняется, т. е. из решения проблемы Гольдбаха нельзя сделать заключения о справедливости утверждения Эйлера. Таким образом, проблема Эйлера значительно труднее проблемы Гольдбаха.

Около двух столетий проблема Гольдбаха волнует умы.

Только в 1930 году Л. Г. Шнирельману удалось указать верный путь подхода к решению проблемы Гольдбаха. Он доказал «теорему Шнирельмана»: существует постоянная k, такая, что каждое натуральное число, большее чем 1, может быть представлено в виде суммы не более k простых чисел, т. е. для любого натурального N (N›1)

N=P₁+P₂ + … + P_n, где P_i либо простые числа, либо нули.

Если удастся доказать, что k = 3, то проблема Гольдбаха будет решена.

Усилиями многих математиков постоянная k была доведена сначала до 67, а в настоящее время до 20. До нужной тройки еще далеко.

Нина Бари росла одаренным ребенком. Еще в гимназии она увлеклась математикой, которую считала одним из любимых предметов. Ей посчастливилось учиться и работать в советское время. Нина Карловна была одной из первых женщин, поступивших учиться на физико-математический факультет Московского университета. Это был первый прием в университет после Октябрьской революции. Нина была счастлива. Она получила возможность общаться с крупнейшими учеными нашей страны — Д. Ф. Егоровым, H. Е. Жуковским, H. Н. Лузиным, С. А. Чаплыгиным. Математический талант Бари заметил профессор Лузин. Нина Бари становится одной из его видных учениц и активной участницей семинара, проводимого ученым.

В 1925 году Н. К. Бари блестяще окончила аспирантуру Московского университета, а в январе следующего года успешно защитила кандидатскую диссертацию на тему «О единственности тригонометрических разложений».

Первые результаты по теории множеств Нина Карловна получила еще в студенческие годы, когда училась на третьем курсе университета. О результатах своих исследований она доложила на заседании Московского математического общества. Ее слушали прославленные ученые нашей страны.

Степень доктора физико-математических наук ей присудили в 1935 году, когда она была уже известным ученым, имевшим большие заслуги в изучении тригонометрических рядов и теории множеств. Многолетний труд ее «Тригонометрические ряды», насчитывающий свыше 900 страниц, является самой полной монографией в этой области математики. В нем блистательно изложены все основные достижения советских математиков, в частности и замечательные исследования автора книги.

Н. К. Бари оставила неизгладимый след в науке, которой она была предана всем своим сердцем. Но она не замыкалась в рамках только «чистой» науки. Нина Карловна была и активной общественницей. Много лет она являлась заседателем народного суда, принимая в этом нужном деле самое горячее участие. Совершенно безвозмездно много сил, энергии и труда отдавала Бари организации и проведению научной работы среди студенческой молодежи. А педагогическую деятельность Н. К. Бари начала в двадцать лет. Студенты Московского университета, в котором она работала с 1926 года, любили Нину Карловну за глубокий ум, вдохновенные лекции, за неустанное стремление увлечь и направить своих слушателей по нехоженым тропам науки.

Н. К. Бари — ученый с мировым именем. С 1927 года она член Французского и Польского математических обществ. Бывала несколько раз за границей. В 1927 году в Париже активно участвовала в семинаре академика Адамара. Через год она снова в Париже, опять и опять совершенствуется в математических знаниях и ведет большую научно-исследовательскую работу. Нина Карловна представляла советскую математическую школу на международных математических конгрессах в Болонье (1928) и в Эдинбурге (1958). Она выступала с обзорными докладами и на различных математических конференциях и съездах у нас в стране. Энергичная и живая, Бари вносила свежую струю во все сферы деятельности, с которыми приходилось сталкиваться, всегда щедро и бескорыстно делилась своим большим опытом и глубокими знаниями.

Интересы Нины Карловны были очень широкими. Она увлекалась туризмом и участвовала в трудных походах по горам Кавказа, Памира, Тянь-Шаня. Незадолго до трагического конца (15 июля 1961 года она погибла, попав под поезд) Бари совершила поход по Камчатке. Ее увлечениям не было границ. Она любила поэзию, обожала музыку и восторгалась балетом.

В 1937 году в ученом мире произошло событие чрезвычайной важности, совершенно неожиданное для всех математиков мира. Советский ученый (ныне Герой Социалистического Труда, лауреат Государственной премии), академик Иван Матвеевич Виноградов доказал проблему Гольдбаха для достаточно больших нечетных чисел.

Он доказал теорему: любое нечетное число, начиная с некоторого достаточно большого, есть сумма трех простых чисел. Другими словами: среди натуральных чисел существует такое достаточно большое число, за которым всякое нечетное натуральное число является суммой трех простых чисел.

Проблему Гольдбаха в указанном выше смысле И. М. Виноградов решил сложным путем, пользуясь очень тонким аппаратом современной математики.

И. М. Виноградов доказал теорему Гольдбаха для достаточно больших нечетных чисел, т. е. для нечетных чисел, больших некоторого большого числа N₀. Каково значение N₀? На этот вопрос ответил молодой советский математик К. Г. Бороздкин, который доказал, что

(е — основание натуральных логарифмов; е = 2,7182…).

Чтобы доказать проблему Гольдбаха полностью, надо значительно снизить найденное К. Г. Бороздкиным число и тогда непосредственно проверить все меньшие числа[94].

Метод Виноградова, с помощью которого он решил проблему Гольдбаха, оказался недостаточным для решения проблемы Эйлера о представлении четных чисел в виде суммы двух простых чисел. Проблема Эйлера остается нерешенной до настоящего времени. Не решена до сих пор и проблема Гольдбаха для четных натуральных чисел (сам Гольдбах такую задачу не ставил), хотя из теоремы Виноградова следует, что всякое достаточно большое четное число есть сумма четырех простых чисел.

И. М. Виноградов родился в селе Милолюб Псковской губернии. Вопросами математики он всегда занимался с большим увлечением. Двадцати трех лет от роду он блестяще окончил Петербургский университет и был оставлен в нем для подготовки к профессорскому званию. В 1918 году он стал профессором, а в 1929 году был избран в Академию.

Виноградову принадлежит около 120 оригинальных научных работ. Они принесли ему всемирную славу, как одному из первых математиков современности. Недаром академик Виноградов избран в члены многих научных обществ и академий мира.