Изучение колебаний таких систем основано на теории квадратичных Ф., в частности на приведении этих Ф. к сумме квадратов. Теория квадратичных Ф. тесно связана с теорией кривых и поверхностей второго порядка (см. также Эрмитова форма ).

  В теории чисел весьма важным является вопрос о представимости целых чисел как значений Ф. с целочисленными коэффициентами при целочисленных значениях переменных. Например, любое натуральное число представимо в виде x² + y² + z² + t² (теорема Лагранжа). Изучение вопроса о представимости целых чисел в виде ax² + 2bxy + су²; где а, b, с, х и у – целые числа, было проведено Ж. Лагранжем и К. Гауссом . Этот вопрос тесно связан с теорией алгебраических чисел. А. Туэ доказал, что уравнения вида f (х, у ) = m, где степень формы f больше двух, имеют конечное число целочисленных решений (см. Диофантовы уравнения ).

  В дифференциальной геометрии и римановой геометрии используются дифференциальные Ф., т. е. многочлены от дифференциалов переменных, каждый член которых имеет относительно дифференциалов одну и ту же степень. Коэффициенты дифференциальных Ф. могут произвольно зависеть от самих переменных. Рассматриваются и полилинейные дифференциальные Ф. Примерами дифференциальных Ф. являются первая и вторая квадратичные Ф. поверхностей теории . Важную роль в дифференциальной геометрии играют целые рациональные функции от коэффициентов квадратичных Ф. и их производных, не изменяющиеся при любых дифференцируемых невырождающихся преобразованиях переменных (дифференциальные инварианты). Например, полная, или гауссова, кривизна поверхности является дифференциальным инвариантом первой квадратичной Ф. Исследования по теории дифференциальных инвариантов сыграли важную роль в возникновении тензорного исчисления. Теория дифференциальных инвариантов находит большое применение в физике, позволяя давать инвариантные (не зависящие от выбора системы координат) формулировки физическим законам.

  Многие теоремы интегрального исчисления (см. Грина формулы , Остроградского формула , Стокса формула ) могут рассматриваться как теоремы о связи дифференциальных Ф. различной степени. Обобщая эти соотношения, Э. Картан построил теорию внешнего дифференцирования Ф., играющую важную роль в современной математике.

  Лит.: Веблен О., Инварианты дифференциальных квадратичных форм, пер. с англ., М., 1948; Гуревич Г. Б., Основы теории алгебраических инвариантов, М. – Л.. 1948; Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972.

Фо'рма музыка'льная, см. Музыкальная форма .

Фо'рма правле'ния, организация государственной власти, характеризующаяся способом образования и правовым положением высших органов власти, а также статусом главы государства. Основной Ф. п. эксплуататорских государств являются монархия и республика . Для современных буржуазных государств наиболее типична республиканская Ф. п.: парламентарная республика (Австрия, Италия, Финляндия, ФРГ, Швейцария), президентская республика (Аргентина, Бразилия, Мексика, США). В некоторых буржуазных государствах существует конституционная (парламентарная) монархия (Бельгия, Великобритания, Дания, Нидерланды, Норвегия, Швеция). Страны, освободившиеся от колониальной зависимости, почти повсеместно ввели республиканскую Ф. п. Все социалистические государства по Ф. п. являются республиками, воплощают власть трудящихся.

Фо'рма процессу'альная, в сов. праве установленный законом порядок осуществления следственных и судебных действий, принятия решений, взаимоотношений участников процесса по уголовным и гражданским делам. Ф. п. основана на демократических принципах сов. судопроизводства , является формой их реализации. Включает комплекс правил, обеспечивающих полноту собирания доказательств, наилучшие условия их оценки и активную роль участников процесса; строгое соблюдение участниками процесса прав граждан. См. также Уголовный процесс .

Фо'рма сло'ва,

  1) совокупность морфологических и фонологических характеристик слова, определяющих его грамматическое значение. Так, состав морфем слова «учительница» (учи-тель-ниц-а) указывает на его принадлежность к существительным женского рода, стоящим в именительном падеже единственного числа. В языке афар (Эфиопия) фонологические свойства слова fak показывают, что это глагол в повелительном наклонении (единственное число, 2-е лицо), т.к. это единственная грамматическая форма, оканчивающаяся на согласный. Понятие Ф. с. возникло в рамках формально-морфологического подхода к языку, представленного, например, в работах Ф. Ф. Фортунатова . Ф. с. понималась им как членимость слова на морфемы, позволяющая определить его грамматическое значение.

  2) То же, что словоформа ; слово в данной грамматической форме. Так, рус. «столу» – форма дательного падежа единственного числа слова «стол».

Фо'рма, см. Содержание и форма .

Формализа'ция, представление какой-либо содержательной области (рассуждений, доказательств, процедур классификации, поиска информации научных теорий) в виде формальной системы , или исчисления . Ф., осуществляемая на базе определённых абстракций, идеализаций и искусственных символических языков, используется прежде всего в математике (см. Математический формализм ), а также в тех науках, в которых применение математического аппарата достигает достаточной для этой цели степени зрелости. Ф. предполагает усиление роли формальной логики как основания теоретических наук, поскольку в случае формализованных теорий уже нельзя удовлетворяться интуитивным убеждением, что та или иная аргументация согласуется с логическими правилами, усвоенными благодаря так или иначе приобретённой способности к правильному мышлению. Полностью могут быть формализованы лишь элементарные теории с простой логической структурой и небольшим запасом понятий (например, исчисление высказываний и узкое исчисление предикатов – в логике, элементарная геометрия – в математике). Если же теория сложна, она принципиально не может быть полностью формализована (см. Полнота , Метатеория ).

  Ф. позволяет систематизировать, уточнить и методологически прояснить содержание теории, выяснить характер взаимосвязи между собой различных её положений, выявить и сформулировать ещё не решенные проблемы. Ф. как познавательный приём – в частности Ф. в узком «математическом» смысле – носит относительный характер: одна и та же теория может быть одновременно и средством Ф. (некоторой другой теории и области явлений), и предметом Ф. (в более «формальной» теории). Так, традиционная «формальная» логика является Ф. по отношению к совокупности отражённых в ней закономерностей человеческого мышления; по отношению же к своим (аксиоматическим) Ф. она выступает в качестве содержательной теории предмета формализации

.

  Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, § 15; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М.. 1960, Введение.