Для характеристики отклонения пространственной кривой L от плоскости вводят понятие т. н. кручения, которое иногда называют второй К. Кручение s в точке М кривой определяется как предел отношения угла b между соприкасающимися плоскостями к кривой в точках М и N к длине Ds дуги MN при стремлении точки N к М:

.

При этом угол b считается положительным, если поворот соприкасающейся плоскости в N при стремлении N к М происходит против часовой стрелки при наблюдении из точки М. К. и кручение, заданные как функции длины дуги, определяют кривую L с точностью до положения в пространстве.

  Исследование отклонения поверхности от плоскости может быть проведено следующим образом. Через нормаль в данной точке М поверхности проводят всевозможные плоскости. Сечения поверхности этими плоскостями называют нормальными сечениями, а кривизны нормальных сечений в точке М — нормальными кривизнами поверхности в этой точке. Максимальная и минимальная из нормальных кривизн в данной точке М именуются главными кривизнами. Если k₁ и к₂ — главные кривизны, то величины K=k₁×k₂ и Н = ¹/ ₂(k₁ + k₂) называют соответственно полной кривизной (или гауссовой кривизной) и средней кривизной поверхности в точке М. Эти К. поверхности определяют нормальные К., поэтому могут служить характеристикой отклонения поверхности от плоскости. В частности, если К = 0 и Н = 0 во всех точках поверхности, то поверхность представляет собой плоскость.

  Полная К. не меняется при изгибаниях поверхности (деформациях поверхности, не меняющих длин линий на ней). Если, например, полная К. равна нулю во всех точках поверхности, то каждый достаточно малый её кусок может быть изогнут на плоскость. Полная К. на поверхности без обращения к объемлющему пространству составляет объект т. н. внутренней геометрии поверхности. Средняя К. связана с внешней формой поверхности.

  Понятие К. обобщается на объекты более общей природы. Например, понятие К. возникает в т. н. римановых пространствах, представляя собой меру отклонения этих пространств от евклидовых.

  Лит.: Бляшке В., Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна, пер. с нем., т.1, М.— Л., 1935; Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969.

  Э. Г. Позняк.

Рис. к ст. Кривизна.

Кривизна поля

Кривизна' по'ля изображения, одна из аберраций оптических систем; заключается в том, что изображение плоского предмета получается резким не в плоскости, как это должно быть в идеальной системе, а на искривленной поверхности. Если линзы, входящие в состав центрированной системы, имеют сферические преломляющие поверхности радиусов r_k(k — номер поверхности по ходу светового луча) и, кроме того, в системе исправлен астигматизм, то изображение плоскости, перпендикулярной оси системы, представляет собой сферу. Её радиус R определяется соотношением

,

где n_k, n_k+1 — показатели преломления сред, расположенных перед и за k-той преломляющей поверхностью. В случае, когда линзы в системе можно считать тонкими (см. Линза), (*) сводится к более простой формуле:

, где f’_i - фокусное расстояние i-той линзы, n_i — показатель преломления её материала. В сложных оптических системах (например, в фотографических объективах) К. п. исправляют, сочетая линзы с поверхностями разной кривизны так, чтобы правая часть формулы (*) стала равна нулю (т. н. условие Пецваля).

  Лит.: Тудоровский Д. И., Теория оптических приборов, 2 изд., М.— Л., 1948; Слюсарев Г. Г., Методы расчёта оптических систем, 2 изд., Л., 1969,

Кривизна пространства-времени

Кривизна' простра'нства-време'ни, в общей теории относительности (теории тяготения) величина, характеризующая меру отклонения свойств пространства-времени от свойств так называемого плоского пространства-времени специальной теории относительности. Понятие К. н.-в. возникло по аналогии с понятием полной кривизны в геометрии поверхностей. К. п.-в. описывается тензором кривизны (см. Римановы геометрии). От вида тензора К. п.-в. существенно зависит тип космологических моделей (см. Космология).

Кривичи (вост.-слав. племенное объединение)

Кривичи', восточнославянское племенное объединение 6—10 вв., занимавшее обширные области в верхнем течении Днепра, Волги и Западной Двины, а также южную часть бассейна Чудского озера. Археологические памятники — курганы (с трупосожжениями) в виде длинных валообразных насыпей, остатки земледельческих поселений и городища, где обнаружены следы железоделательного, кузнечного, ювелирного и др. ремёсел. Главные центры — гг. Смоленск, Полоцк, Изборск и, возможно, Псков. В состав К. входили многочисленные балтийские этнические группы. В конце 9—10 вв. появились богатые погребения дружинников с вооружением; особенно много их в Гнездовских курганах. По летописи, К. до включения их в состав Киевского государства (во 2-й половине 9 в.) имели своё княжение. Последний раз имя К. упоминается в летописи под 1162, когда на земле К. уже сложились Смоленское и Полоцкое княжества, а северо-западная её часть вошла в состав Новгородских владений. К. сыграли большую роль в колонизации Волго-Клязьминского междуречья.

  Лит.: Довнар-Запольский М., Очерк истории Кривичской и Дреговичской земель до конца XII ст., К., 1891; Третьяков П. Н., Восточнославянские племена, 2 изд., М., 1953; Седов В. В., Кривичи, «Советская археология», 1960, № 1.

  П. Н. Третьяков.

Кривичи (пос. гор. типа в Минской обл.)

Кривичи', посёлок городского типа в Мядельском районе Минской области БССР, на р. Сервечь (правый приток р. Вилия), в 3 км от ж.-д. станции Кривичи (на линии Молодечно — Полоцк). Молокозавод, промкомбинат. Предприятия местной промышленности.

Кривов Тимофей Степанович

Криво'в Тимофей Степанович [21.2(5.3).1886, село Старое Ерёмкино Мелекесского уезда Самарской губернии, — 16.8.1966, Москва], советский государственный и партийный деятель, Герой Социалистического Труда (1966). Член Коммунистической партии с 1905. Родился в крестьянской семье. Был батраком, рабочим. Учился в Симбирской учительской школе (1899), работал учителем. Участник Революции 1905—07 в Уфе и Златоусте, был членом боевых дружин. Подвергался репрессиям. В январе 1910 эмигрировал. После возвращения в 1911 в Россию арестован и приговорён к бессрочной каторге. После Февральской революции 1917 на партийной и советской работе в Уфе. С 1920 секретарь Уральского бюро ЦК РКП (б). С 1922 ответственный инструктор ЦК партии, затем работал в ЦКК ВКП (б). С 1927 заместитель наркома РКИ РСФСР и член партколлегии ЦКК. В 1934—35 главный арбитр при СНК РСФСР. В 1936 заместитель наркомфина РСФСР. С 1936 работал в ЦК профсоюза рабочих коммунальных предприятий СССР. С 1940 персональный пенсионер. Делегат 10—12-го, 14—17-го съездов партии; на 10-м, 12—16-м съездах избирался членом ЦКК, на 11-м — кандидат в члены ЦК партии. Награжден 2 орденами Ленина.