3. Третій пріемъ составленъ Петценштейнеромъ, н?мецкимъ математикомъ XV в?ка. Въ немъ множимое и произведеніе пишется по нашему, а множитель выходитъ изъ вертикальныхъ колоннъ и ставится сбоку, справа наискось. Расположеніе такое:

Какой смыслъ и какая ц?ль въ подобномъ подписываніи множителя сбоку? Объ этомъ догадаться не трудно. У насъ въ прим?р? взято двузначное число 97, а иногда случается вм?сто него брать трехзначное, четырехзначное и т. д.; тогда легко бываетъ забыть, на какія цифры мы уже умножали, и на какія осталось умножать; чтобы не забыть, Петценштейнеръ и пишетъ каждую цифру при своемъ произведеніи. Еще ран?е его Радульфъ Лаонскій († 1131) предлагалъ, впрочемъ на абак?, особенные кружки изъ дерева или изъ камня, чтобы приставлять ихъ къ т?мъ разрядамъ множимаго и множителя, которые перемножаются. Надо сознаться, что Адамъ Ризе уступаетъ Петценштейнеру въ его заботахъ о множител?, и наши школьники по способу Адама Ризе нер?дко пропускаютъ, особенно на первыхъ порахъ, цифры множителя. Для нихъ тоже не м?шало бы на первое время, когда они еще учатся умиожать, пользоваться ч?мъ-нибудь въ род? бумажки, чтобы они могли закрывать т? раз-ряды, на которые еще не умножали.

4. Четвертый способъ принадлежитъ Кебелю, н?мецкому ученому XVI в?ка. Множимое и множитель пишутся такъ же, какъ и у насъ, но въ произведеніи порядокъ подписыванія нарушается, и единицы отступаютъ вправо, вм?сто того, чтобъ имъ стоять подъ единицами. Зач?мъ это понадобилось Кебелю, и понять нельзя: н?тъ въ зтой форм? ни удобства, ни вообще какой-нибудь зам?тной ц?ли; единственно, что тутъ можно думать, это то, что Кебель захот?лъ изобр?сти свой способъ и изобр?лъ довольно неудачный.

Впрочемъ, на способ? Кебеля учащіеся могутъ уб?диться въ томъ, что неполныя произведенія можно подписывать какъ угодно, и не подъ разрядами производителей, лишь бы только выполнялось условіе, что единицы складываются съ единицами, десятки съ десятками, и т. д.

5. Пятый способъ отличается еще большей свободой въ подписываніи, въ немъ и отд?льныя произведенія располагаются прямо другъ подъ другомъ, не обращая вниманія на то, что единицы оказались наискось отъ единицъ и десятки наискось отъ десятковъ; разум?ется, для отв?та оно безразлично, складывать ли разряды вертикально или наклонно, лишь бы только не сложить единицъ съ дееятками; есть въ этомъ способ? много оригинальности и пожалуй изящества, но мало удобства. Названіе его «per quadrilatero» и если перевести это выраженіе съ итальянскаго языка на русскій, то оно будетъ значить «способъ четыреугольника».

Прежде всего чертится р?шетка; потомъ въ ней располагаются отд?льныя произведенія такъ, что ихъ крайнія цифры стоятъ другъ подъ другомъ вертикально; сложеніе разрядовъ идетъ наискось, и цифры произведенія разм?щаются вправо и внизу; читать ихъ надо сл?ва. Все это очень интересно, но для практическаго прим?ненія мало годится. Это скор?й ари?метическое украшеніе, забава.

6. Вс? предыдущіе пять способовъ требуютъ такого жъ основного порядка умноженія, какой и мы прим?няемъ всегда у себя; разница только въ подписываніи данныхъ чиселъ и искомыхъ: въ то время, какъ мы стремимся все расположить въ вертикальныхъ колоннахъ, Петценштейнеръ выноситъ множителя на сторону, Кебель отступаетъ съ произведеніемъ вправо, а по способу «четырехуголъника» разряды пишутся въ діагональномъ направленіи, т.-е. наискось; но везд? умноженіе начинается неизм?нно съ низшихъ разрядовъ. Теперь мы обратимся къ случаямъ, когда оно начинается съ высшихъ разрядовъ, а не съ низшихъ. Это бываетъ и у насъ, но только при томъ условіи, если не приходится перечеркивать и исправлять написанныхъ цифръ. А цифръ не бываетъ, во-первыхъ, при устномъ счет? и, во-вторыхъ, при выкладкахъ на счетахъ. Поэтому въ обоихъ этихъ случаяхъ удобно начинать умноженіе съ высшихъ разрядовъ, т?мъ бол?е, что и выговариваніе чиселъ и откладываніе ихъ на счетахъ идетъ все съ высшихъ разрядовъ. Но письменное умноженіе начинать съ л?вой руки неудобно, потому что, если, напр., мы умножимъ десятки и запишемъ ихъ и потомъ перейдемъ къ единицамъ, то отъ умноженія единицъ могутъ получиться еще десятки, и намъ придется написанную цифру десятковъ стирать и зам?нять новой.

Далеко не безразлично, съ какихъ разрядовъ множимаго начинать письменное д?йствіе, съ высшихъ или низшихъ. Посл?днее удобн?е. Что касается множителя, то въ сущности одна привычка заставляетъ насъ начинать съ единицъ, потому что можно съ такимъ же правомъ умножать сперва на высшіе разряды множителя и потомъ постепенно переходить къ низшимъ, лишь бы в?рно подписывать произведенія, т.-е. десятки подъ десятками, а единицы подъ единицами. Покажемъ это на прим?р?:

Еще видн?е въ многозначныхъ числахъ:

7. Седьмой способъ принадлежитъ Вендлеру и отличается отъ шестого единственно т?мъ же самымъ, ч?мъ второй отъ перваго, именно лишними нулями на м?ст? десятковъ, сотенъ и т. д. Если вписать эти нули, то 33?4567 изобразится въ такомъ вид?:

8. Восьмой способъ устный, встр?чается у Брамегупты, ученаго индуса VII в. по Р. X. Онъ совершенно сходенъ съ нашимъ устнымъ пріемомъ, да такъ и доджно быть, потому что индусы, главнымъ образомъ, изобр?тали и совершенствовали устный счетъ, они были первыми спеціалистами въ этомъ род? вычисленій; они вычисляли отд?льныя произведенія въ ум?, писали ихъ строкой и потомъ складывалн. Лишнимъ, на нашъ взглядъ, могло бы показаться разв? то, что множимое переписывается н?сколько разъ, именно столько разъ, сколько разрядовъ во множител?.

9. Девятымъ пріемомъ умноженіе производится тоже сначала на десятки, а потомъ на единицы; если бы были сотни, то, конечно, сперва на сотни. Умноживши на десятки, произведеніе подписываютъ точно такъ же, какъ это сд?лали бы и мы, но съ единицами идегь иначе.

Когда мы умножимъ 456 на 7, то получимъ 3192. Изъ нихъ 319 десятковъ пом?щаемъ внизу, во второй строк?, подъ т?ми цифрами, какія соотв?тствуютъ имъ по значенію, а 2 единицы вверху, рядомъ съ 4 десятками, прямо подъ единицами множителя, въ виду того, что это м?сто нич?мъ не занято. Подобная система писать цифры какъ можно выше, на свободныхъ м?стахъ, проявляется у многихъ авторовъ, какъ это мы увидимъ впосл?дствіи; порядокъ этотъ довольно безвредный, потому что, гд? бы ни писать, лишь бы написать в?рно подъ своимъ разрядомъ: но онъ можетъ оказаться и неудобнымъ тогда, когда счетчикъ собьется: тогда очень трудно разобраться въ ряд? цифръ, найти, какая изъ нихъ принадлежитъ къ какому произведению, и исправить ошибку. Этотъ девятый способъ приписывается Апіану (XVI в.).

10. Въ предыдущихъ 4 способахъ д?йствіе начиналось съ высшихъ разрядовъ множителя, и въ этомъ только, главнымъ образомъ, и заключалась ихъ особенность; цифры подписывались почти такъ же, какъ у насъ, и вообще большого изм?ненія противъ нормальнаго порядка не было. Но теперь мы перейдемъ къ бол?е грубымъ и старымъ пріемамъ, въ которыхъ уклоненій отъ нашего уже гораздо больше. Отличіемъ ихъ является полная механичность, безъ всякаго вычисленія въ ум?; составители зтихъ пріемовъ держатся слишкомъ невысокаго мн?нія о понятливости и сообразительности своихъ учениковъ, ничего не дов?ряютъ устному счету и рекомендуютъ все записывать, даже до мелочей, и притомъ по опред?леннымъ, точно установленнымъ формамъ. Наприм?ръ, когда умножаются десятки, то къ ихъ произведенію нельзя прямо прибавить т?хъ десятковъ, которые получились отъ единицъ, а надо написать отд?льно и сложить ихъ въ самомъ конц?, когда вс? мелкія умноженія будутъ выполнены. Эти тяжелов?сные, громоздкіе способы въ настоящее время вс?ми оставлены, и никому въ голову не придетъ ими воспользоваться, между т?мъ, въ XV–XVII стол?тіи, въ эпоху наибол?е усиленной работы надъ ари?метикой, когда индусская система проникла и въ народъ, и въ школу, эти способы были ходячими и общепринятыми. Сейчасъ они не им?ютъ никакой ц?ны, потому что требуютъ много лишняго письма и лишняго времени для вычисленій, мы же ихъ приводимъ съ тою ц?лью, чтобъ показать, изъ какихъ первоначальныхъ и несовершенныхъ формъ образовались наши бол?е совершенныя.