Вотъ способъ Штейнмеца (XVI в.). Прим?ръ:

Шестью семь 42, такъ и пишемъ; пятью семь 35, пишемъ 5 десятков подъ 4 десятками, а три сотни вверху подъ сотнями, потому что там м?сто есть свободное; четырежды семь 28, пишемъ 8 сотенъ подъ 3-мя, а дв? тысячи на свободном м?ст? тысячъ въ верхней строк?. Вообще стараемся писать цифры какъ можно выше, гд? только есть свободное м?сто для изв?стнаго разряда. Отд?льныя произведенія располагаются, какъ видимъ, строками, которыя, ч?мъ ниже, все короче, и получается фигура, похожая на треугольникъ, такъ что и самый способъ носитъ названіе треугольника. Посл?дніе его сл?ды встр?чаются въ учебникахъ еще въ XVII стол?тіи.

11. Умноженіе треугольникомъ им?етъ не одну форму, а н?сколько, въ зависимости отъ того, начинать ли д?йствіе съ высшихъ разрядовъ или низшихъ, или даже какихъ-нибудь промежуточныхъ, писать ли цифры какъ можно выше или какъ можно ниже. Если начинать умноженіе съ высшихъ разрядовъ, то образуется такая фигура:

12. По дв?надцатому способу умноженіе треугольникомъ начинается съ какого-нибудь средняго разряда. Конечно, зто безразлично для произведенія, если только мы не собъемся въ порядк? цифръ и не пропустимъ чего-нибудь и не возьмемъ лишняго. Умножимъ сперва 5 дес. на 97, потомъ 4 сотни и, наконецъ, 6 единицъ.

Треугольникъ можно бы повернуть основаніемъ внизъ и вершиной вверхъ. Тогда фигура получится красив?е. Особенно она хороша при длинныхъ многозначныхъ числахъ, когда очертаніе треугольника выд?ляется ясн?е.

13. Стоило только математикамъ попасть на одну геометрическую фигуру, на треугольникъ, и они принялись изобр?тать всевозможныя формы: уголъ, ромбъ и т. д. Наперерывъ, одинъ передъ другимъ, школьные педагоги въ Германіи и Италіи ХVІ—XVII в?ка стали предлагать хитроумные, фигурные способы, въ которыхъ не им?лось въ виду удобства, а требовалось только представить что-нибудь новое и замысловатое. Н?которые педагоги получили даже своеобразную изв?стность въ этомъ направленіи. Такъ итальянецъ Тарталіа училъ въ своей школ? 8 способамъ; столькимъ же училъ и Лука-де-Бурго; но вычислять по нимъ они своихъ учениковъ не заставляли, кром? одного способа или двухъ, и приводили остальные только по установившемуся обычаю или изъ хвастовства.

Расположеніе угломъ достигалось благодаря тому, что произведеніе простыхъ единицъ отодвигалось вправо, а остальные разряды писались симметрично вверху и внизу. Вотъ форма угла при умноженіи 456 на 97.

Первое произведеніе 36 составилось изъ множителей 4 и 9, второе — изъ 5 и 9, третье — изъ 6 и 9. Такимъ образомъ, мы помножили на десятки и начали д?йствіе въ этомъ случа? съ сотенъ множимаго; дал?е умножаемъ на единицы, но ведемъ уже въ обратномъ порядк?, именно, начинаемъ съ единицъ множимаго и постепенно добираемся до его сотенъ.

14. Четырнадцатый способъ—ромба. Онъ еще замысловат?е, ч?мъ предыдущіе. Нужна особенная внимательность, да и знаніе секрета, какъ составлять ромбъ. Если помножить 456 на 397, то ромбъ можетъ получиться сл?дующимъ путемъ. Вверху пишется произведеніе 4 сотенъ на 7 единицъ, подъ нимъ произведеиіе 5 десятковъ на 3 сотни и на 7 единицъ; въ длинной строк? пом?щается 4 с. ? 3 с., 5 дес. ? 9 дес. и 6 ед. ? 7 ед.; дал?е располагаются и остальныя произведенія. Все это очень сбивчиво и неудобно, даетъ массу ошибокъ въ вычисленіи, которыя найти потомъ такъ нелегко, что лучше все бросить и сд?лать снова. Съ непривычки д?ло долго не клеится, отв?та не выходитъ, но, зато, въ конц? ученикъ им?етъ право похвастать: у него получился ромбъ.

15. До сихъ поръ мы подписывали отд?льныя произведенія внизу подъ множимымъ и множителемъ, и на это, конечно, у насъ была причина, потому что вс? люди начинаютъ писать съ верхней стороны листа и постепенно спускаются книзу, гд? м?сто свободное, неисписанное. Но отв?тъ получится одинаково в?рный и въ томъ случа?, если, не жал?я бумаги, мы начнемъ д?йствіе пониже и оставимъ м?сто для отд?льныхъ произведеній выше производителей. Получится у насъ такъ:

Способъ этотъ указалъ Глареанъ въ ХIІ в. Вычисленіе начинается справа, съ низшихъ разрядовъ; отв?тъ въ самомъ низу.

16. Шестнадцатый способъ очень сходенъ съ предыдущимъ и является его предшественникомъ по времени, такъ какъ образовался въ XV в?к?. Его даетъ ученый арабъ Алькальцади изъ Андалузіи Особенность въ немъ та, что множимое переписывается н?сколко разъ и притомъ столько разъ, сколько цифръ во множител?. И еще есть особенность: множитель не стоитъ подъ множимымъ, а располагается выше его; кром? того, отд?льныя произведенія разс?яны по разнымъ строкамъ.

Множимое, повидимому, передвигается за т?мъ, чтобы не сбиться, какой разрядъ множить на какой. Впрочемъ, выгоды отъ этого передвиженія особенной не представляется.

17. Въ высшей степени искусственная запись встр?чается у Баскары, индусскаго автора, жившаго въ XII в?к?. Это та же р?шетка, что и въ 5 способ?, но только съ полными цифрами, безъ всякаго пропуска и сокращенія. У итальянцевъ она называлась «gelosia», по образцу фигурныхъ р?шетокъ, бывшихъ въ окнахъ среднев?ковыхъ теремовъ.

Множимое 456 мы пишемъ вверху, множителя 97 съ л?вой стороны. Каждый разрядъ числа 456 множится на каждый разрядъ 97-ми. Всего образуется 6 отд?льныхъ произведеній. Ихъ мы пишемъ полностью по кл?ткамъ, такъ, чтобы всякое произведеніе стояло противъ т?хъ разрядовъ, отъ которыхъ оно получилось; наприм?ръ, шестью семь 42, ставимъ это число подъ 6-ю и притомъ въ верхней строк?, потому что множитель 7 стоитъ въ этой строк? съ л?вой ея стороны, 2 пом?щаемъ въ верхнемъ правомъ углу кл?тки, а 4 десятка въ нижнемъ л?вомъ. Такъ же ведемъ д?йствіе и съ остальными разрядами. Чтобы получить отв?тъ, стоитъ только сложить числа въ діагональномъ порядк? наискось: 2 единицы сносимъ, 5+4+4 = 13 десятковъ, изъ нихъ 3 пишемъ; 8+3+5+5+1 = 22 сотни; 2 пишемъ; тысячъ будетъ 2+6+4+2=14, 4 пишемъ и, наконецъ, десятковъ тысячъ 3+1, всего 4. Искомое произведеніе выразится пятью цифрами: 44232. Способъ этотъ, какъ видно, очень сложный, фигурный и сбивчивый. Надо твердо помнить и хорошо привыкнуть къ тому, какъ чертится р?шетка, какъ пишутся производители, гд? пом?щаются отд?льныя произведенія, и какъ читается отв?тъ; стоитъ только немного не остеречься, забыть, и тогда вс? разряды перепутываются, и никакъ нельзя будетъ отличить, гд? единицы, гд? десятки, и что складывать съ ч?мъ. Вообще это вовсе не д?ловой способъ и не школьный, а скор?е плодъ математической изобр?тательности и развлеченіе въ математик?, которая въ средніе в?ка была особенно суха и недоступна, а подобныя выдумки ее оживляли.

18. Арабъ Альнасави (XI в.) училъ умножать еще бол?е чуждымъ для насъ пріемомъ. Онъ тоже не допускалъ устнаго счета и тоже подписывалъ вс? цифры сполна, но сверхъ того и въ сложеніи у него было отличіе, потому что отд?льные разряды складывались не въ конц? всего д?йствія, а постепенно, по м?р? того, какъ они получались.

Множитель 97 пишется надъ множимымъ 456 такъ, что его высшій разрядъ, 9 десятковъ, стоитъ надъ простыми единицами числа 456. Вычисленіе начинается сл?ва. 4?9 = 36, пишемъ 6 надъ четырьмя, а 3 рядомъ нал?во; 5?9=45, изъ нихъ 5 пишемъ рядомъ съ 6-ю, а 4 не подписываемъ надъ 6-ю, какъ это д?лали въ способ? треугольника, но прибавляемъ къ 6-ти, будетъ 10, прибавляемъ къ 30, будетъ 40, эти цифры пом?щаемъ надъ 36-ю. Ведемъ умноженiе дал?е: 6?9-= 54, изъ этого 4 пишемъ надъ 9-ю, потому что нижнее м?сто занято, а 5 прибавляемъ къ 5-ти, получится 10, нуль пишемъ надъ пятью, единицу—надъ нулемъ, именно т?мъ нулемъ, который принадлежитъ числу 40. Такимъ-то образомъ сложеніе идетъ рука объ руку съ умноженіемъ, и когда вс? умноженія окончатся, то окончится и сложеніе, и отв?тъ представится самыми высшими цифрами въ каждомъ вертикальномъ столбц?. Какъ видно, Альнасави допускаетъ особенность и въ множимомъ, именно онъ его еще разъ подвигаетъ и не только горизонтально, но такъ, что крайній разрядъ переставляется въ сл?дующую высшую строчку. Ц?ль перем?щенія та, чтобы единицы множимаго всегда приходились подъ т?мъ разрядомъ множителя, на какой умножаемъ.