23. Индусы и Адамъ Ризе, и итальянцы XVI в. часто разлагали множителя на производителей. У итальянцевъ это называлось «per repiego». Чтобы, напр., умножить 15, можно данное число умножить на 5 и полученное вновь умножить на 3. Чтобы умножить на 121, можно умножить на 11 и опять на 11. Еще лучше у Адама Ризе: если ему надо какое-нибудь число взять слагаемымъ 46 разъ, то онъ умножаетъ данное число на 9, полученный результатъ—на 5 и ко всему этому прикладываетъ еще одно, 46 слагаемое. Хорошо бы и намъ пользоваться почаще такими сокращеніями и пріучать къ нимъ своихъ д?тей въ училищахъ. Есть, правда, во многихъ школахъ, особенно въ начальныхъ, спеціальныя занятія по устному счету, но, во-первыхъ, очень жаль, что они въ средней школ? глохнутъ и не продолжаются, и, во-вторыхъ, они ведутся, обыкновенно, по шаблону и не столько развиваютъ личную сообразительность д?тей, сколько пріучаютъ ихъ къ готовымъ формуламъ.

24. Другимъ хорошимъ способомъ, который тоже можетъ развивать сообразительность и помогать вычисленію, является сл?дующій. Множитель зам?няется новымъ числомъ, которое болыпе его въ н?сколько разъ или на н?сколько единицъ, и притомъ гораздо удобн?е для д?йствія, ч?мъ самъ данный множитель. Наприм?ръ, если намъ задано умножить какое-нибудь число на 25, то мы вм?сто этого умножимъ на 100—такъ гораздо легче—и полученное отъ этого умноженія число разд?лимъ на 4. Точно также, чтобы умножить на 98, мы можемъ умножить на 100 и изъ этого произведенія вычесть двойное множимое, потому что мы его взяли лишнихъ 2 раза. Оба эти пріема хороши для устныхъ вычисленій, они придуманы давно, еще индусами, но все еще не им?ютъ такого большого прим?ненія на практик?, какого заслуживаютъ по своей легкости и удобству.

25. Есть еще методъ умноженія многозначныхъ чиселъ, очень интересный и оригинальный. Онъ построенъ на совершенно иной руководящей мысли, ч?мъ нашъ настоящій методъ. Мы теперь интересуемся множимымъ и множителемъ, старательно подписывая ихъ другъ подъ другомъ или рядомъ, разлагаемъ ихъ на разряды и разсуждаемъ, съ которой стороны лучше начать; такъ что порядокъ вычисленія у насъ опред?ляется множимымъ и множителемъ, и наши заботы мало касаются произведенія, которое выходитъ какъ-то само собой, изъ сложенія частныхъ результатовъ. Наоборотъ, способъ «крестикомъ», о которомъ мы будемъ сейчасъ говорить, обращаетъ исключительно свое вниманіе на результатъ умноженія и изъ его разбора, а не изъ разбора данныхъ чиселъ, выводитъ порядокъ д?йствія. Въ способ? «крестика» надо сперва вычислить единицы произведенія, потомъ его десятки и притомъ сразу вс?, какіе только могутъ оказаться, чтобы зат?мъ къ десяткамъ бол?е не возвращаться; потомъ надо вычислить сотни произведенія, опять-таки вс?, какія только могутъ въ немъ быть; и такъ мы идемъ посл?довательно отъ одного разряда къ другому. Еще греки любили пользоваться этимъ умноженіемъ и назвали его «хіазмомъ», потому что греческая буква хи «Х» какъ разъ своей фигурой напоминаетъ крестикъ.

Возьмемъ прим?ръ сперва двузначный: 56?97 и поставимъ такой вопросъ: откуда могутъ получиться единицы произведенія? Очевидно, только отъ перемноженія простыхъ единицъ, потому что отъ умноженія десятковъ будутъ десятки, отъ сотенъ будутъ сотни и т. д. 6?7 = 42, сл?д. простыхъ единицъ въ отв?т? будетъ дв?, не больше и не меньше. Итакъ, одну цифру мы нашли, она будетъ обязательно 2. Р?шаемъ теперь второй вопросъ: откуда получаются десятки произведенія? Во-первыхъ, отъ умноженія десятковъ на единицы, во-вторыхъ, отъ умноженія единицъ на десятки и, кром? того, н?сколько десятковъ образовалось отъ перемноженія простыхъ единицъ. Больше ни откуда десятковъ получиться не можетъ, такъ какъ во всякомъ случа? сотни и тысячи дадутъ по крайней м?р? сотни же и тысячи. Вычисляемъ десятки: 5?7 — 35, 9?6 = 54, да 4 десятка осталось отъ единицъ, всего составится ихъ 93; изъ этого 9 сотенъ пока зам?тимъ, а 3 десятка можемъ записать спокойно: это ужъ цифра окончательная. Высчитываемъ сотни. Въ нашемъ прим?р? он? могутъ получиться только отъ умноженія десятковъ на десятки и ихъ будетъ 45, да 9 сотенъ отъ десятковъ, всего 54 сотни. Пишемъ ихъ въ окончательномъ отв?т? и получаемъ: 56?97 = 5432. «Крестикъ» мы зд?сь прим?няли, когда составляли десятки произведенія, потому что въ этомъ случа? мы умножали крестъ на крестъ 5 на 7 и 6 на 9. Все д?йствіе можно изобразить такой фигурой:

5 6

X

9 7

————

5432

Чтобы читателю былъ ясн?е виденъ ходъ вычисленія, разберемъ еще трехзначныи прим?ръ. Возьмемъ 467 X 893. Низшимъ разрядомъ въ произведеніи будутъ простыя единицы, а высшимъ—десятки ты-сячъ, потому что сотни, умноженныя на сотни, даютъ десятки ты-сячъ; всего, сл?довательно, въ произведеніи будетъ 5 разрядовъ. Оііред?ляемъ ихъ постепенно. Прежде всего запишемъ данныя числа такъ, чтобы цифры стояли пор?же и между ними были свободные промежутки, э зач?мъ,—это будетъ понятно дал?е.

Простыя единицы образуются отъ перемноженія простыхъ же единицъ; 7 ? 3 = 21, единицу пишемъ и 2 въ ум?. Десятки образуются отъ умноженія десятковъ на единицы и единицъ на десятки и дадутъ: 6 ? 3 = 18, 9 ? 7 = 63, да 2, всего 83, три пишемъ и 8 зам?чаемъ. Но мы пишемъ 3 десятка не подъ десятками, а въ промежутк? между единицами и десятками: ц?ль зд?сь та, чтобы сохранить полную симметрію въ расположеніи цифръ и строгій порядокъ, который не допустилъ бы насъ сбиться; д?йствительно, какъ у насъ образовалась цифра единицъ и гд? она подписана? Она образовалась отъ единицъ и подъ ними подписана:

7

3

—

1

.

Какъ образовалась цифра десятковъ и гд? ее лучше всего подписать? На это отв?тимъ мы такимъ чертежомъ:

6 7

?

9 3

———

 3

Цифра 3 стоитъ симметрично подъ т?ми цифрами, отъ которыхъ она получилась. Вотъ дал?е чертежи для сотенъ, тысячъ и десятковъ тысячъ:

Сотни высчитываются такъ. Он? получаются отъ умноженія сотенъ на единицы, единицъ на сотни и десятковъ на десятки, будетъ 4.3 = 12, 7.8 = 56, 6.9 = 54, да отъ умноженія десятковъ осталось 8 сотенъ, всего ихъ составится 130, нуль пишемъ подъ чертой, а 13 тысячъ пока держимъ въ ум?. Отыскиваемъ теперь тысячи нашего произведенія: он? получаются тогда, когда сотни множатся на десятки и десятки на сотни, сл?д. 4?9 = 36, 6?8 = 48, да еще зам?ченныхъ 13, и составится ихъ всего 97. Цифру 7 пишемъ подъ чертой. Легко, наконецъ, опред?лить и десятки тысячъ: их? будетъ 41.

Такимъ же образомъ можно умножить и всякія многозначныя числа, до пятизначныхъ, шестизначныхъ и выше. Симметрія руководитъ нами во вс?хъ этихъ прим?рахъ и не позволяетъ сбиться. Поэтому, если во множимомъ и во множител? цифръ не поровну, напр., четырехзначное число берется съ двузначнымъ, то лучше всего приписать пару лишнихъ нулей и получить опять симметричную фигуру:

Индусы были въ восхищеніи отъ этого способа, часто имъ поль-зовались и ум?ли умножать по этому способу очень быстро, за что и прозвали его «молніеноснымъ». Онъ вовсе не труденъ, если только научиться быстро складывать двузначныя числа; что онъ не нуждается въ большомъ письм? и даетъ выигрышъ во времени, въ этомъ, конечно, нечего и сомн?ваться. Какъ было бы хорошо, если бы онъ, почти забытый посл? индусовъ и грековъ, получилъ доступъ въ наши школы, распространился въ народ? и оправдалъ свое названіе «молніеноснаго».

26. Закончимъ нашу бес?ду объ умноженіи объясненіемъ посл?дняго, въ высшей степени оригинальнаго пріема, который незнающаго наблюдателя можетъ даже поразить. Передаютъ, будто одинъ н?мецкій школьный учитель показалъ д?тямъ это умноженіе, а потомъ при пос?тителяхъ спрашивалъ считать устно и приводилъ въ удивленіе быстротой счета, разум?ется въ томъ случа?, если пос?титель не зналъ секрета.

Учнтель: «83?87!»

— Ученикъ: «80?90 = 7200 да 3-жды семь 21, всего 7221».