Альнасави заимствовалъ свой пріемъ у индусовъ; индусы же предпочитали устный счетъ письменному, не любили лишнихъ цифръ и. во всякомъ случа?, не стали бы вычислять такъ растянуто, какъ это д?лаетъ Альнасави. У какого же индуса онъ его заимствовалъ? Или онъ самъ его такъ изм?нилъ? Объяснить это все можно такъ. Индусы вычисляли на песк? и сейчасъ же стирали т? цифры, которыя имъ не нужны, поэтому имъ было такъ легко передвигать множимое или множителя: они стирали прежнее и писали новое. Поэтому и мелкія сложенія и умноженія они писали только на одну минуту, и если имъ цифра не нужна, они ее сейчасъ за-м?няли новой; такъ что, д?йствительно, индусы не сбивались въ длинныхъ рядахъ цифръ и не запутывались, т?мъ бол?е, что ихъ работ? много помогалъ устный счетъ. Но арабы и Западная Европа переняли способы индусовъ, а прим?нять ихъ стали чаще всего на доскахъ и на бумаг?, гд? цифры перетирать совершенно неудобно; отъ этого и получилась масса лишняго письма, сбивчивость и трудность въ вычисленіяхъ. Не скоро поняли европейскіе математики, что не достаточно перенести чужой пріемъ къ себ?, но надо еще прим?нить его къ своимъ условіямъ, и тогда онъ будетъ пригоднымъ и удобнымъ.

19. Во вс?хъ разобранныхъ нами 18-ти способахъ, какъ они ни сложны и ни разнообразны, существенный ыорядокъ д?йствія все время остается тотъ же, везд? дается 2 числа, множимое и множитель, и первое число, т.-е. множимое, помножается такъ или иначе на отд?льные разряды множителя, сперва на его единиы, потомъ на десятки, сотни и т. д., или же, наооборотъ, раньше на сотни, а потомъ уже на десятки и единицы. Но н?тъ ничего легче прим?нить другой порядокъ: не ц?лое множимое умножать на отд?льные разряды множителя, а отд?льные разряды множимаго на ц?лаго множителя. Такъ училъ индусскій авторъ Брамегупта (въ VII ст. по Р. X.).

Отв?тъ у него пом?щается въ самомъ верху, данныя числа— внизу. Множитель переписывается столько разъ, сколько цифръ во множимомъ. Начинаемъ умножать 4 сотни на 97, получится 388 сотенъ, ихъ пишемъ надъ сотнями. Такъ же поступаемъ съ десятками и единiцами.

20. Самыми старыми первоначальными способами умноженія надо считать т?, когда умноженіе зам?няется сложеніемъ. Умноженіе, конечно, и есть въ существ? д?ла сложеніе, но только сокращенное, благодаря таблиц? и всл?дствіе равенства слагаемыхъ. Чтобы, на-прим?ръ; умножить 9 на 27, можно бы 9 выписать 27 разъ и потомъ посл?довательно складывать: 9 + 9 = 18, 18 + 9 = 27, 27 + 9 = 36 и т. д. до 243-хъ. Но такое сосчитываніе было бы слишкомъ продолжительнымъ, и вотъ зд?сь является на помощь таблица умноженія, которая значительно сокращаетъ работу; изъ таблицы намъ изв?стно, что 9 ? 2 = 18, а сл?довательно 90 ? 2 = 180, да 9 ? 7 = 63, всего составится 180 + 63 = 243. Такимъ образомъ мы зам?нили набираніе 27 слагаемыхъ бол?е простыми д?йствіями, именно 2 умноженіями и однимъ сложеніемъ. Не сразу выработала ари?метика такой простой и легкій путь, чтобы зам?нять сложеніе равныхъ слагаемыхъ умноженіемъ. Поэтому на первыхъ ступеняхъ ея развитія, при наглядномъ счет? и при выкладкахъ на разныхъ счетныхъ приборахъ, преобладаетъ чистое сложеніе, а умноженіе является только урывками и проблесками. Едва къ концу среднихъ в?ковъ оно вполн? вступило въ свои права.

Приведемъ образецъ вычисленій на римскихъ цифрахъ. Изъ него хорошо видно, насколько сложеніе преобладало надъ умноженіемъ и зам?няло его. Требуется, положимъ, СХХХХIIIІ умножить на XXX. Тогда д?йствіе располагается сл?дующимъ образомъ:

С · Х = М

С · Х = М

С · Х = М

ХХХХ · XXX = МСС

XXX + XXX + XXX + XXX = СХХ.

Такъ какъ множитель XXX состоитъ изъ X + X + X, то достаточно повторить множимое сперва X разъ, потомъ еще X разъ, и, наконецъ, еще X разъ и полученные отв?ты сложить. Но когда мы начнемъ повторять X разъ, то множимое, въ свою очередь, разложится на отд?льныя слагаемыя: С + X + X + X + X + IIII; и придется намъ каждое слагаемое перваго числа помножать на каждое слагаемое второго.

21. Двадцать первымъ способомъ будетъ такъ называемый „per aschapezza“. Въ перевод? съ итальянскаго языка,—способъ чаще другихъ прим?няли итальянцы,—это значитъ способъ «разложенія». Прим?ръ: 44?26. Для этого 26 разлагаемъ на какія-нибудь легкія cлагаемыя, обыкновенно однозначныя, въ род? 3 + 4 + 5 + 6 + 8, и составляемъ пять произведеній: 44 · 3, 44 · 4, 44 · 5, 44 · 6, 44 · 8. Вс? ихъ можно легко найти устно, и въ этомъ заключается преимущество подобнаго умноженія. Но иногда, забывая о главномъ условіи удобства, прим?няли этотъ способъ и тогда, когда онъ не даетъ никакого выигрыша ни во времени, ни въ письм?. Хорошимъ прим?ромъ такого теоретическаго пользованія разложеніемъ можетъ служить пом?щенный въ арі?метик? Брамегупты (VII в.): 235?288, съ разложеніемъ числа 288 на 9 + 8 + 151 + 120. Очевидно Брамегупта, выбирая такія неудобныя слагаемыя, не только не упростилъ д?іствія, а скор?е усложнилъ и затруднилъ; но онъ, нав?рное, и не задавался ц?лью упростить и облегчить вычисленіе, а желалъ только представить новую форму умноженія.

22. Какъ мы уже сказали, зам?на умноженія сложеніемъ является самымъ легкимъ и простымъ пріемомъ и въ то же время самымъ старымъ и испытаннымъ. Египтяне за много стол?тій до Р. X. ум?ли съ болышшъ искусствомъ, чрезвычайно свободно и остроумно пользоваться этой зам?ной. Если, наприм?ръ, имъ требовалось умножить на 17, то они сперва складывали множимое само съ собой и получали такимъ образомъ двойное число; его тоже складывали само съ собой, получали четверное число; четверное складывали съ четвернымъ, получали восьмерное; восьмерное съ восьмернымъ, получится 16 ть слагаемыхъ, а такъ какъ ихъ задано набрать 17-ть, то остается добавить только одно слагаемое и отв?тъ будетъ найденъ. Подобнымъ же образомъ они могли, наприм?ръ, вычислять 466 .13. Они составляли 466.2 = 932, 932.2 = 1864, 1864.2 = 3728, зат?мъ складывали восьмерное число съ четвернымъ и съ простымъ и получали 466 .13 = 3728 + 1864 + 466 = 6058. Такимъ путемъ египтяне ум?ли добираться до сложныхъ результатовъ, хотя и медленно, но довольно в?рно и усп?шно. Изъ вс?хъ умноженій у нихъ было только одно удвоеніе; они даже не знали таблицы умноженія. Не они ли пришли къ мыели выд?лить удвоеніе въ особое д?йствіе, къ мысли, которая прим?нялась очень долго и едва въ ХУІ стол?тіи была оставлена, потому что съ этого времени удвоеніе вошло въ составъ вообще умноженія.

Покончимъ теперь на египтянахъ и не будемъ уходить дал?е въ глубь в?ковъ, т?мъ бол?е, что у насъ н?тъ фактическаго матеріала для этого. Подведемъ итоги всему. что сказали объ умноженіи. Оно начинается съ сложенія равныхъ слагаемыхъ и въ этомъ случа? не пользуется никакими особенными правилами, сокращеніями и удобствами. Зат?мъ, благодаря практик?, начинаетъ выд?ляться удвоеніе и оно образуетъ фундаментъ новаго д?йствія—умноженія: по образцу удвоенія легко могли возникнуть другіе подобные разсчеты и удвоеніе натолкнуло на то, чтобы находить тройное число, четверное, десятерное и т. п. Вс? эти употребительные случаи, повторяясь часто, привели къ таблиц? умноженія и выд?лили окончательно д?йствіе умноженія изъ массы случаевъ сложенія. Тогда же начинается письменное производство этого д?йствія, сначала въ грубой и несовершенной форм?, при помощи абака и другихъ похожихъ на него пособій, съ многочисленными стираніями и изм?неніями цифръ; сложеніе отд?льныхъ произведеній сначала шло попутно, вм?ст? съ умноженіемъ разрядовъ, но потомъ его начали относить на самый конецъ и производить тогда, когда уже вс? произведенія найдены. Въ старинныхъ способахъ умноженія устный счетъ почти не допускался, и вс? цифры, какія надо, писались безъ пропуска, и въ ум? ничего не удерживалось: такъ, по крайней м?р?, было въ Западной Европ? въ средніе в?ка. Ближе къ нашему времени стали прим?нять и устный счетъ, начали помогать письму т?мъ, что н?которыя цифры удерживали въ ум?, и такимъ то образомъ развился и принялъ окончательную отд?лку нашъ современный нормальный способъ умноженія.