В ньютоновской механике пространство состояний называется фазовым пространством, хотя причины такого именования не до конца ясны. Это всего лишь набор всех возможных положений и импульсов всех присутствующих в системе объектов. В мире шахматных досок пространство состояний состоит из всевозможных последовательностей белых и серых квадратиков в одной строке, а также может включать некоторую дополнительную информацию в точках, где пересекаются диагональные линии. Когда мы окунемся в квантовую механику, то столкнемся с пространством состояний, состоящим из всех возможных волновых функций, описывающих квантовую систему; на техническом языке это называется гильбертовым пространством. В любой уважающей себя физической теории присутствует пространство состояний и правила, описывающие эволюцию конкретных состояний с течением времени.
У пространства состояний может быть громадное количество измерений, даже если обычное пространство всего лишь трехмерное. В этом контексте под измерением понимается «число, необходимое для фиксации точки в пространстве». В пространстве состояний есть по одному измерению для каждой компоненты положения и по одному измерению для каждой компоненты импульса для каждой частицы в системе. Если мы говорим о бильярдном шаре, катающемся по плоскому двумерному столу, то нам требуется два числа для описания его положения (так как сам стол двумерный) и два числа для описания его импульса (величины и направления). Таким образом, пространство состояний одного бильярдного шара, привязанного к двумерному столу, четырехмерное: два числа для положения, два для импульса.
Рис. 7.7. Два шара на бильярдном столе и соответствующее пространство состояний. Для обозначения положения каждого шара на столе требуется два числа, и еще два числа описывают его импульс. Полное состояние двух частиц представляет собой точку в восьмимерном пространстве (справа). Мы не можем нарисовать восемь измерений, так что постарайтесь вообразить, что они там действительно присутствуют. Каждый дополнительный шар добавляет к пространству состояний четыре измерения.
Если бы на столе было девять шаров, то нам потребовалось бы по два числа на положение каждого шара и по два на их импульсы — итого тридцать шесть измерений фазового пространства. Число измерений, требующихся для описания импульса и положения, всегда совпадает, так как в реальном пространстве вдоль каждой из осей пространства направлено по одной компоненте импульса. Если рассмотреть случай бейсбольного мяча, летящего в воздухе, что эквивалентно задаче об одной частице, свободно движущейся в трехмерном пространстве, то пространство состояний для него будет шестимерным. Для 1000 частиц оно будет 6000-мерным.
В реалистичных задачах пространство состояний чрезвычайно велико. Настоящий бильярдный шар состоит примерно из 1025 атомов, а пространство состояний представляет собой список положений и импульсов каждого из них. Вместо того чтобы рассматривать эволюцию всех этих атомов, движущихся сквозь трехмерное пространство со своими импульсами, мы можем с равным успехом говорить о движении всей системы целиком как об одной точке (состоянии), движущейся сквозь пространство состояний с громадным количеством измерений. Это кардинальный способ перепаковки огромного объема информации в другую форму; нисколько не упрощая описание (мы всего лишь подменили огромное количество частиц огромным количеством измерений), он позволяет взглянуть на вещи с новой точки зрения.
Ньютоновская механика инвариантна относительно выбора направления времени. Если вы снимете фильм о том, как наш одинокий бильярдный шар катается по зеленому фетру и отскакивает от бортиков стола, то ни один зритель не сможет сказать, смотрит он эту пленку в прямом или в обратном воспроизведении. В обоих случаях на экране происходит одно и то же: шар катится по прямой линии с постоянной скоростью до тех пор, пока не врежется в бортик и не отскочит от него.
Однако это далеко не конец истории. В нашем шахматном мире мы определили инвариантность относительно обращения времени как идею о том, что последовательность состояний системы можно отразить во времени, и результат все так же будет подчиняться сформулированным для этого мира законам физики. На шахматной доске состоянием является строка белых и серых квадратиков; для бильярдного шара это точка в пространстве состояний, задающая положение и импульс шара.
Взгляните на первую часть траектории шара на рис. 7.6. Шар равномерно и прямолинейно катится вверх и вправо, величина его импульса остается постоянной, и направлен импульс также вверх и вправо. Если зеркально отразить происходящее во времени, то мы получим последовательность положений шара, движущегося из верхней правой области стола в нижнюю левую, а также набор одинаковых импульсов, указывающих вверх и вправо. Но это какое-то безумие. Если шар катится вдоль траектории с обратным направлением времени — сверху и справа вниз и влево, то и направление его импульса должно совпадать с направлением скорости. Очевидно, что самый простой рецепт — взять исходный набор состояний, упорядоченный во времени, и воспроизвести его в неизменном виде в обратную сторону — не работает. Получившаяся траектория не отвечает законам физики. (Совершенно очевидно, что импульс никак не может быть направлен в сторону, противоположную направлению скорости, ведь он равен произведению скорости и массы![119])
Эта дилемма хоть и кажется неразрешимой, в действительности довольно проста. В классической механике мы можем определить операцию обращения времени не просто как воспроизведение исходного набора состояний в обратную сторону, но как составную операцию, включающую изменение направления импульсов на противоположное. И тогда действительно классическая механика окажется идеально инвариантной относительно обращения времени. Если вы предоставите мне описание эволюции системы с течением времени, включающее положения и импульсы каждой ее части в каждый момент времени, то я смогу развернуть эти импульсы в обратную сторону, воспроизвести последовательность в обратном порядке и получить новую траекторию, которая также будет представлять собой правильное решение ньютоновских уравнений движения.
Это более или менее отвечает здравому смыслу. Возьмем планету, вращающуюся вокруг Солнца. Предположим, что вам стало интересно, как этот процесс будет выглядеть в «обратной перемотке», — вы мысленно меняете направление течения времени, и теперь планета движется по той же орбите, но в обратную сторону. Наблюдая эту картину в течение какого-то времени, вы приходите к выводу, что все выглядит вполне достоверно. Это происходит потому, что ваш мозг автоматически меняет направление импульса на противоположное, — вам даже не приходится задумываться об этом, в вашем воображении планета совершенно естественным образом движется в обратную сторону. Мы не придаем этому большого значения, потому что не можем увидеть импульс так же, как видим положение. Тем не менее это такая же важная часть состояния любой системы, как и положение входящих в нее частиц.
Следовательно, нельзя говорить, что ньютоновская механика инвариантна относительно самого тривиального определения обращения времени: взять упорядоченную по времени допустимую последовательность состояний, поменять порядок их следования на обратный и посмотреть, будет ли новая последовательность отвечать действующим законам физики. При этом никого это особо не волнует. Мы просто даем более усовершенствованное определение: в этой упорядоченной во времени допустимой последовательности состояний нужно преобразовать каждое индивидуальное состояние некоторым простым, но конкретным способом и только после этого менять порядок следования состояний на обратный. Под «преобразованием» мы понимаем всего лишь изменение каждого состояния согласно заранее согласованному правилу; в случае ньютоновской механики требуемой трансформацией будет «изменение направления импульса на обратное». Если мы найдем достаточно простой способ преобразования отдельных состояний, обеспечивающий соблюдение законов физики даже после обращения времени, то сможем с гордостью объявить, что эти законы инварианты относительно изменения направления времени.
