Глава 10 Повторяющиеся кошмары
Природа — это длительная последовательность невообразимых катастроф.
В четвертой книге своего труда «Веселая наука», написанного в 1882 году, Фридрих Ницше предлагает мысленный эксперимент. Он просит читателя вообразить такой сценарий, при котором все, что случается во Вселенной, включая мельчайшие детали наших собственных жизней, однажды повторяется, и этот цикл воспроизводится снова и снова на протяжении вечности.
Представь себе, что однажды — днем или ночью — к тебе в твоем полнейшем уединении подкрался демон и говорил тебе: «Ту жизнь, которую ты ведешь теперь и которую прожил, тебе придется повторить еще раз и еще бесчисленное число раз; и не будет ничего нового, но все та же боль, все те же желания и мысли, и вздохи, и все невыразимо малые и великие события твоей жизни пройдут перед тобой в прежнем порядке и прежней последовательности — и этот паук, и этот лунный свет между деревьями, и этот миг, и я сам. Вечные песочные часы бытия будут снова и снова перевертываться, и ты с ними, пылинка из пылинок!»[172]
Интерес Ницше к бесконечно повторяющейся Вселенной носил по большей части этический характер. Он интересовался: как бы вам понравилась мысль о том, что ваша жизнь повторится бессчетное число раз? Погрузились бы вы в пучину тревоги и отчаяния — в тексте даже упоминается скрежетание зубами — от подобной ужасающей перспективы или же возликовали бы? Ницше полагал, что успешной можно назвать такую жизнь, которую вы бы с гордостью проживали в бесконечном цикле.[173]
Труд Ницше, разумеется, ни в коем случае не может считаться первоисточником идеи циклической Вселенной, или «извечного возвращения». Упоминания о ней то тут, то там встречаются во многих древних религиях: в греческой мифологии, индуизме, буддизме, некоторых аборигенных американских культурах. Колесо жизни вращается, история повторяется.
Рис. 10.1. Анри Пуанкаре, пионер топологии, теории относительности и теории хаоса, позднее президент Бюро долгот.
Однако вскоре после того, как Ницше предложил своего демона, идея извечного повторения проникла и в физику. В 1890 году Анри Пуанкаре доказал интригующую математическую теорему, в которой утверждается, что определенные физические системы непременно возвращаются к любой своей конфигурации бесконечное число раз — нужно лишь подождать достаточно долго. За этот результат ухватился молодой математик по имени Эрнст Цермело, заявивший, что данная идея несовместима с предложенным Больцманом выводом второго начала термодинамики на основе фундаментальных обратимых законов движения атомов. В 1870-х годах Больцман сражался с «парадоксом обратимости» Лошмидта. В противоположность этому 1880-е годы были относительно спокойным временем в истории развития статистической механики: Максвелл скончался в 1879 году, а Больцман, помимо продвижения своей научной карьеры, сосредоточил усилия на технических приложениях разработанного им формализма. Однако в 1890-х годах споры разгорелись снова — на этот раз в форме «парадокса повторения» Цермело. По сей день результаты этих споров так до конца и не приняты физиками; многие вопросы, поднятые Больцманом и его современниками, до сих пор остаются предметом жарких дискуссий ученых. В контексте современной космологии вопросы, связанные с парадоксом повторения, все еще остаются нерешенными.
Хаос Пуанкаре
Оскар II, король Швеции и Норвегии, родился 21 января 1829 года. В 1887 году шведский математик Гёста Миттаг-Лефлер подал королю идею отметить грядущее шестидесятилетие весьма необычным способом: устроив математическое соревнование, в котором участникам будут предложены на выбор четыре задачи. Приз получит тот, кто найдет самое оригинальное и творческое решение любой из них.
Одной из предложенных задач была «задача трех тел». В этой задаче требуется описать движение трех массивных объектов под влиянием взаимного гравитационного притяжения. (Для двух тел задача решается просто: еще Ньютон доказал, что планеты движутся по эллиптическим орбитам.) За эту задачу взялся Анри Пуанкаре, который в тридцать с небольшим лет уже считался одним из ведущих мировых математиков. Ему не удалось найти решение, однако он предоставил очерк, демонстрирующий одно критически важное свойство: орбиты этих планет стабильны. То есть, даже не зная точного решения, можно быть уверенным в том, что планеты по крайней мере будут вести себя предсказуемо. Метод Пуанкаре оказался настолько остроумным, что премию в итоге присудили именно ему, а его статья была подготовлена для публикации в новом журнале Миттага-Лефлера Acta Mathematica.[174]
Однако возникла небольшая загвоздка: Пуанкаре допустил ошибку. У Эдварда Фрагмена, одного из редакторов журнала, возникли некоторые вопросы относительно статьи, и в процессе поиска ответов Пуанкаре осознал, что при построении своего доказательства упустил один важный случай. Подобные малозаметные ошибки частенько закрадываются в сложные математические работы, и Пуанкаре взялся за исправление своего очерка. Но стоило ему потянуть за одну ниточку, как все доказательство разошлось по швам. В итоге Пуанкаре доказал утверждение, прямо противоположное исходному: орбиты трех тел совсем не были стабильными. Эти орбиты не только не являются периодическими — они даже примерно не описываются никаким регулярным поведением. Сегодня, благодаря существованию компьютеров, способных моделировать любое движение, подобный результат не кажется нам таким уж удивительным, но в то время это был настоящий шок. Начав с попытки доказать стабильность орбит планет, Пуанкаре пришел к чему-то совершенно иному: он изобрел теорию хаоса.
Однако история на этом не заканчивается. Миттаг-Лефлер, уверенный в том, что Пуанкаре без труда исправит свой удостоенный награды очерк, поторопился и напечатал его. К тому времени как Пуанкаре сообщил, что не стоит ждать никаких исправлений, журнал уже был отправлен крупнейшим математикам по всей Европе. Миттаг-Лефлер тут же телеграфировал в Берлин и Париж, приказывая уничтожить все копии журнала. В целом ему это удалось, но не без небольшого скандала в элитных математических кругах по всему континенту.
В ходе пересмотра своего доказательства Пуанкаре пришел к обманчиво простому и мощному результату, который сегодня известен под названием теоремы Пуанкаре о возвращении. Представьте себе, что у вас есть система, все составляющие которой движутся в какой-то ограниченной области пространства, как планеты, вращающиеся вокруг Солнца. Теорема о возвращении гласит, что если начиная с некоторой конфигурации эволюционировать систему в соответствии с законами Ньютона, то она гарантированно вернется к своей первоначальной конфигурации и будет делать это снова и снова, бесконечное число раз в будущем.
Кажется, что это довольно очевидно, и, возможно, никто даже не удивляется этому. Если мы с самого начала предполагаем, что все части нашей системы (планеты, вращающиеся вокруг Солнца, или молекулы, летающие туда и сюда внутри контейнера) связаны в ограниченном объеме, а промежуток времени мы рассматриваем бесконечный, то системе ничего не остается, кроме как возвращаться к одному и тому же состоянию бесчисленное количество раз. А куда ей деваться?
Однако в действительности все немного сложнее. Главная тонкость заключается в том, что число возможных состояний бесконечно, даже если сами объекты не убегают на бесконечность.[175] Круговая орбита заключена в конечном объеме, но сама она содержит бесконечное число точек; точно так же внутри контейнера с газом конечного объема существует бесконечно много точек пространства. В подобных случаях системы обычно не возвращаются в состояние, в точности совпадающее с исходным. Пуанкаре пришел к выводу о том, что в этом случае вполне достаточно «почти полного» совпадения. Если вы заранее объявите, насколько близкими должны быть два состояния, чтобы их можно было считать неразличимыми, то, согласно доказательству Пуанкаре, система будет бесконечно много раз оказываться близко к начальному состоянию.
