Размышляя подобным образом, Больцман ставил целью объяснить на атомном уровне второе начало термодинамики — утверждение, что энтропия в замкнутой системе всегда увеличивается (или остается постоянной). Формулировки второго начала уже были даны Клаузиусом и другими учеными, однако Больцман хотел вывести их из некоего простого набора базовых принципов. Вы уже заметили, что статистическое мышление движет нас в правильном направлении: заявление о том, что «развитие систем происходит от специальных конфигураций к общим», весьма похоже на «развитие систем происходит от конфигураций с низкой энтропией к конфигурациям с высокой энтропией».

Таким образом, напрашивается определение энтропии как «количества перестановок микроскопических частей системы, при которых ее макроскопическое состояние не меняется». В нашем примере с перегородкой внутри контейнера это соответствует количеству способов разместить отдельные молекулы внутри сосуда так, чтобы общее число молекул в каждой половине осталось неизменным.

Мы почти подобрались к верному ответу, но все же не совсем. В действительности пионерам термодинамики было известно об энтропии не только то, что «она обычно увеличивается». Например, они знали, что если взять две разные системы и заставить их взаимодействовать, то общая энтропия будет равна простой сумме отдельных энтропий этих двух систем. Энтропия аддитивна, точно так же, как число частиц (в отличие, например, от температуры). Однако количество конфигураций совершенно точно свойством аддитивности не обладает: если соединить два контейнера с газом, то общее количество способов реорганизации молекул в двух контейнерах станет во много раз больше, чем в пределах одной емкости.

Больцману удалось справиться с задачей формулировки определения энтропии в терминах микроскопических перестановок. Мы будем использовать букву W (от немецкого Wahrscheinlichkeit — «вероятность») для обозначения количества перестановок микроскопических составляющих системы без изменения ее макроскопических свойств. Последним шагом Больцмана было взятие логарифма от W и объявление о том, что результат пропорционален энтропии.

Слово «логарифм» звучит очень по-научному, но это всего лишь способ показать, как много цифр понадобится для написания числа. Если число представляет собой степень 10, то его логарифм равен всего лишь этой степени,[129] то есть логарифм 10 равен 1, логарифм 100 равен 2, логарифм 1 000 000 равен 6 и т. д.

В приложении мы более подробно обсудим некоторые математические тонкости. Они не очень важны для составления глобальной картины; если вы притворитесь, что не замечаете слова «логарифм», то ничего особо не потеряете. В действительности важно знать только лишь две вещи:

    по мере увеличения чисел возрастают и их логарифмы;

    но не слишком быстро; сами числа становятся неимоверно больше, однако их логарифмы увеличиваются довольно медленно. Один миллиард намного больше тысячи, однако 9 (логарифм миллиарда) не сильно больше 3 (логарифм 1000).

Когда дело доходит до огромных чисел, например таких, с которыми мы сталкиваемся в этой игре, последнее свойство здорово нам помогает. Поделить 2000 частиц поровну можно 2∙10⁶⁰⁰ способов — просто невообразимое число! Но логарифм этого числа равен всего лишь 600,3 — с этим еще можно иметь дело.

Формула Больцмана для энтропии, традиционно обозначаемой буквой S (букву E мы использовать не хотим, потому что она обычно обозначает энергию), гласит, что энтропия равна произведению некоторой константы k, которая называется постоянной Больцмана, на логарифм W, где W — число микроскопических состояний системы, неразличимых с макроскопической точки зрения.[130] Таким образом[131],

S = k lg W

Это, без сомнения, одно из важнейших уравнений за всю историю науки — триумф физики XIX века, которое можно поставить в один ряд с ньютоновским описанием динамики в XVII веке и революционными открытиями в области теории относительности и квантовой механики в двадцатом. Посетив могилу Больцмана в Вене, вы увидите, что это уравнение выгравировано на его надгробном камне (см.главу 2).[132]

Взятие логарифма избавляет нас от основной проблемы, а формула Больцмана приводит как раз к тем свойствам, которые разумно ожидать от такого явления, как энтропия. В частности, полная энтропия двух систем после объединения равна всего лишь сумме энтропий этих систем. Это обманчиво простое уравнение обеспечивает количественную связь между микроскопическим миром атомов и макроскопическим миром, который мы видим вокруг себя.[133]

Для примера мы могли бы вычислить энтропию показанного на рис. 8.2 контейнера с газом, внутри которого есть перегородка с небольшим отверстием. Наша макроскопическая наблюдаемая — это полное количество молекул в левой или правой половине контейнера (нам неизвестно, что это за молекулы, где они находятся и какие у них импульсы). Величина W в данном примере — это всего лишь число способов распределить 2000 частиц между двумя половинами контейнера так, чтобы их количество в каждой половине оставалось постоянным. Если слева 2000 частиц, то W равно 1, а lg W равен 0. Еще несколько вариантов перечислено в табл 8 1.

Таблица 8.1. Количество расположений W и логарифм этого значения, вычисленные для контейнера с 2000 частицами, часть из которых находится слева от перегородки, а часть — справа.

На рис. 8.3 представлено изменение энтропии (в определении Больцмана) со временем в нашем контейнере с газом. Я перемасштабировал график так, чтобы максимальное значение энтропии контейнера равнялось 1. Начальное значение энтропии относительно невелико — оно соответствует первой конфигурации на рис. 8.2, где в левой части контейнера находится 1600 молекул, а в правой — только 400. По мере того как молекулы постепенно просачиваются сквозь отверстие в центральной перегородке, энтропия увеличивается. Это лишь один пример эволюции системы; поскольку наш «закон физики» (каждую секунду у каждой частицы есть 0,5-процентная вероятность попасть на другую сторону) включает вероятностную составляющую, движение системы в разных экспериментах неизбежно будет отличаться в деталях. Однако в подавляющем большинстве случаев энтропия все же будет увеличиваться, поскольку система тяготеет к макроскопическим конфигурациям, соответствующим большему числу микроскопических расстановок. Второе начало термодинамики в действии.

^{Рис. 8.3. Увеличение энтропии в контейнере с перегородкой, содержащем молекулы газа. Вначале большая часть молекул сосредоточена в левой половине, но со временем распределение выравнивается (см.рис. 8.2.). Соответственно увеличивается и энтропия, поскольку существует гораздо больше способов равномерно поделить молекулы между двумя отсеками контейнера, чем собрать их все с одной или с другой стороны. Для удобства мы показываем энтропию в единицах ее максимального значения, которое на данном графике равно единице.}

Согласно Больцману и коллегам, это и есть источник стрелы времени. Сначала у нас имеется лишь набор микроскопических законов физики, инвариантных относительно обращения времени: для них прошлое и будущее неразличимы. Однако мы имеем дело с системами, включающими огромное количество частиц, для полного описания состояния которых нам не требуется отслеживать каждую деталь — мы следим лишь за некоторыми поддающимися наблюдению макроскопическими величинами. Энтропия — это мера числа микроскопических состояний, неразличимых с точки зрения макроскопического наблюдателя (и под этим заявлением мы подразумеваем, что она пропорциональна логарифму этого числа). В предположении, что система развивается по направлению к макроскопическим конфигурациям, соответствующим большему количеству возможных состояний, естественно говорить о том, что со временем энтропия увеличивается.