Определение через абстракцию

Определе'ние че'рез абстра'кцию , способ описания (выделения, «абстрагирования») не воспринимаемых чувственно («абстрактных») свойств предметов путём задания на предметной области некоторого отношения типа равенства (тождества , эквивалентности ). Такое отношение, обладающее свойствами рефлексивности ,симметричности и транзитивности , индуцирует разбиение предметной области на непересекающиеся классы (классы абстракции, или классы эквивалентности), причём элементы, принадлежащие одному и тому же классу, неотличимы по определяемому т. о. свойству. Так, например, в политической экономии определяется стоимость (через отношение обмениваемости товаров), в теории множеств — мощность множеств (через отношение теоретико-множественной эквивалентности). О. ч. а. всегда (хотя обычно и неявно) опирается на т. н. принцип абстракции, или принцип свёртывания, согласно которому каждому свойству соотносится класс (множество) объектов, обладающих этим свойством. В практических приложениях этот принцип весьма удобен, естествен и плодотворен; но постулирование его как универсального методологического закона приводит к трудностям, проявляющимся прежде всего в виде парадоксов (логики и теории множеств). См. Аксиоматический метод ,Метаматематика ,Непротиворечивость .

Определённый интеграл

Определённый интегра'л , одно из основных понятий математического анализа, к которому приводится решение ряда задач геометрии, механики, физики. О. и. является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм), соответствующих функции f (x ) и отрезку [ а , b ]; обозначается

. Геометрически О. и. выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной отрезком [ а , b ] оси Ох , графиком функции f (x ) и ординатами точек графика, имеющих абсциссы а и b . Точное определение и обобщение О. и. см. в статьях Интеграл ,Интегральное исчисление .

Определитель

Определи'тель , детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана матрица порядка n , т. е. квадратная таблица, составленная из п² элементов (чисел, функций и т. п.):

 (1)

  (каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) называется многочлен, каждый член которого является произведением n элементов матрицы (1), причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида

å ± a_1aa_2b ...a_ng . (2)

  В этой формуле a, b, ..., g есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., n . Перед членом берётся знак +, если перестановка a, b, ..., g чётная, и знак – , если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной – в противоположном случае; так, например, перестановка 51243 – нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам a, b, ..., g чисел 1, 2, ..., n . Число различных перестановок n символов равно n ! = 1·2·3·...·n ; поэтому О. содержит n ! членов, из которых ¹ /₂n ! берётся со знаком + и ¹ /₂n ! со знаком –. Число n называется порядком О.

  О., составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:

 (3)

(или, сокращённо, в виде |a_ik |). Для О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:

= a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁ ,

 

 = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₁a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁a₃₃ – a₁₃a₂₂a₃₁ .

О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геометрическое истолкование:

 равен площади параллелограмма, построенного на векторах a₁ = (x₁ , y₁ ) и a₂ = (х₂ .у₂ ), а  равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах a₁ = (x₁ , y₁ , z₁ ), a₂ = (x₂ , у₂ , z₂ ) и а₃ = (х₃ , y₃ , z₃ ) (системы координат предполагаются прямоугольными).

  Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраических уравнений 1-й степени (линейные уравнения ). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде:

 (4)

  Эта система имеет одно определённое решение, если О. |a_ik |, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю; тогда неизвестное x_m (m = 1, 2, ..., n ) равно дроби, у которой в знаменателе стоит О.|a_ik |, а в числителе — О., получаемый из |a_ik | заменой элементов m -го столбца (т. е. коэффициентов при х_т ) числами b₁ , b₂ , ..., b_n . Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными

решение даётся формулами

;     .

  Если b₁ = b₂ = ..., = b_n = 0, то систему (4) называется однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения, только если |a_ik | = 0. Связь теории О. с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач аналитической геометрии. Многие формулы аналитической геометрии удобно записывать при помощи О.; например, уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами (x₁ , y₁ , z₁ ), (x₂ , y₂ , z₂ ), (х₃ , y₃ , z₃ ), может быть записано в виде:

 = 0.