О. обладают рядом важных свойств, которые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:

  1) O. не изменяется, если в нём строки и столбцы поменять местами:

  2) О. меняет знак, если в нём поменять местами две строки (или два столбца); так, например:

  3) О. равен нулю, если в нём элементы двух строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, например:

  4) общий множитель всех элементов строки (или столбца) О. можно вынести за знак О.; так, например:

  5) если каждый элемент какого-нибудь столбца (строки) О. есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О., причём в одном из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) — те же, что и в данном О.; так, например:

  6) О. не изменяется, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель; так, например:

  7) О. может быть разложен по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. Разложение О. (3) по элементам i -й строки имеет следующий вид:

  Коэффициент A_ik , стоящий при элементе a_ik в этом разложении, называется алгебраическим дополнением элемента a_ik . Алгебраическое дополнение может быть вычислено по формуле: A_ik = (–1)ⁱ+ k D_ik , где D_ik — минор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный к элементу a_ik , то есть О. порядка n- 1, получающийся из данного О. посредством вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент a_ik . Например, разложение О. 3-го порядка по элементам второго столбца имеет следующий вид:

  Посредством разложения по элементам строки или столбца вычисление О. n -го порядка приводится к вычислению n определителей (n - 1)-го порядка. Так, вычисление О. 5-го порядка приводится к вычислению пяти О. 4-го порядка; вычисление каждого из этих О. 4-го порядка можно, в свою очередь, привести к вычислению четырёх О. 3-го порядка (формула для вычисления О. 3-го порядка приведена выше). Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления О. практически применим лишь для О. сравнительно небольших порядков. Для вычисления О. большого порядка разработаны различные, практически более удобные методы (для вычисления О. n -го порядка приходится выполнять примерно n³ арифметических операций).

  Отметим ещё правило умножения двух О. n -го порядка: произведение двух О. n -го порядка может быть представлено в виде О. того же n -го порядка, в котором элемент, принадлежащий i -й строке и k -му столбцу, получается, если каждый элемент i -й строки первого множителя умножить на соответствующий элемент k -го столбца второго множителя и все эти произведения сложить; иными словами, произведение О. двух матриц равно О. произведения этих матриц.

  В математическом анализе О. систематически используются после работ немецкого математика К. Якоби (2-я четверть 19 в.), исследовавшего О., элементы которых являются не числами, а функциями одного или нескольких переменных. Из таких О. наибольший интерес представляет определитель Якоби (якобиан )

  Определитель Якоби равен коэффициенту искажения объёмов при переходе от неременных х₁ , x₂ , ..., х_п к переменным

y₁ = f₁ (x₁ , ..., x_n ),

y₂ = f₂ (x₁ , ..., x_n ),

………………….

y_n = f_n (x₁ , ..., x_n ).

  Тождественное равенство в некоторой области этого О. нулю является необходимым и достаточным условием зависимости функций f₁ (x₁ , ..., x_n ), f₂ (x₁ , ..., x_n ), ..., f_n (x₁ , ..., x_n ).

  Во 2-й половине 19 в. возникла теория О. бесконечного порядка. Бесконечными О. называются выражения вида:

  (односторонний бесконечный О.) и

  (двусторонний бесконечный О.). Бесконечный О. (5) есть предел, к которому стремится О.

при бесконечном возрастании числа n . Если этот предел существует, то О. (5) называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Исследование двустороннего бесконечного О. иногда можно привести к исследованию некоторого одностороннего бесконечного О.

  Теория О. конечного порядка создана в основном во 2-й половине 18 в. и 1-й половине 19 в. (работами швейцарского математика Г. Крамера , французских математиков А. Вандермонда, П. Лапласа , О. Коши , немецких математиков К. Гаусса и К. Якоби). Термин «О.» («детерминант») принадлежит К. Гауссу, современное обозначение — английскому математику А. Кэли .

  Лит . см. при статьях Линейная алгебра ,Матрица .

Опредме'чивание и распредме'чивание , категории марксистской философии, выражающие собой противоположности, единством и взаимопроникновением которых является человеческая предметная деятельность. Опредмечивание — это процесс, в котором человеческие способности переходят в предмет и воплощаются в нём, благодаря чему предмет становится социально-культурным, или «человеческим предметом» (см. К. Маркс, в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф., Из ранних произведений, 1956, с. 593). В своём результате опредмечивание всегда имеет наряду с реальным также и идеальное (смысловое) значение, так что всякий результат опредмечивания обладает культурно-исторической адресованностью, направленной на др. людей, социальные группы.