,

а соответствующая функция Р. (т. н. эмпирическая функция распределения) — равенством

F*(x) = n_x/n,

где n_x — число наблюдений, результат которых меньше х. Статистическое Р. и его характеристики могут быть использованы для приближённого представления теоретического Р. и его характеристик. Так, например, если Х имеет конечные математическое ожидание и дисперсию, то, каково бы ни было e > 0, неравенства

выполняются при достаточно большом n с вероятностью, сколь угодно близкой к единице. Т. о.,

 и s² суть состоятельные оценки для EX и DX соответственно (см. Статистические оценки). Советский математик В. И. Гливенко показал, что при любом e > 0 вероятность неравенства

при всех x стремится к единице при n, стремящемся к бесконечности. Более точный результат установлен сов. математиком А. Н. Колмогоровым; см. об этом Непараметрические методы в математической статистике.

  Многомерные распределения. Пусть Х и Y — две случайные величины. Каждой паре (X, Y) можно отнести точку Z на плоскости с координатами Х и Y, положение которой будет зависеть от случая. Совместное Р. величин Х и Y задаётся указанием возможных положений точки Z и соответствующих вероятностей. Здесь также можно выделить два основных типа Р.

  1) Дискретные распределения. Возможные положения точки Z образуют конечную или бесконечную последовательность. Р. задаётся указанием возможных положений точки Z

z₁, z₂, ..., z_n, ...

и соответствующих вероятностей p₁, p₂, ..., p_n, ...

  2) Непрерывные распределения задаются плотностью вероятности р (x, у), обладающей тем свойством, что вероятность попадания точки Z в какую-либо область G равна

  Пример: двумерное нормальное Р. с плотностью

,

где

m_X = EX, m_Y = EY,

,

— математические ожидания и дисперсии величин Х и Y,

и R — коэффициент корреляции величин Х и Y:

  Аналогично можно рассматривать Р. вероятностей в пространствах трёх и большего числа измерений. О многомерных Р. см. также Корреляция,Регрессия.

  О возможности дальнейших обобщений и о связи между понятием меры множества и понятием Р. см. Вероятностей теория.

  Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, д изд., М., 1969; Крамер Г., Математические методы статистики пер. с англ., М., 1948; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968

  Ю. В. Прохоров.

Рис. 3. Равномерное распределение: а — плотность вероятности; б — функция распределения.

Рис. 2. Геометрическое распределение: а — вероятности

; б — функция распределения (р = 0,2).

Рис. 4. Плотность логарифмически-нормального распределения (m = 2, s = 1).

Рис. 1. Биномиальное распределение: а — вероятности p_m =

; б — функция распределения ( n = 10, p = 0,2 ). Гладкими кривыми изображено нормальное приближение биномиального распределения.

Распределения диаграмма

Распределе'ния диагра'мма двигателя внутреннего сгорания, графическое изображение зависимости моментов открытия и закрытия клапанов (окон) от положения поршня (угла поворота коленчатого вала двигателя). На круговой Р. д. (рис.) положение клапанов определяется углами опережения (запаздывания) моментов открытия (закрытия) клапанов относительно верхней и нижней мёртвых точек поршня. С увеличением быстроходности двигателей продолжительность открытия клапанов увеличивается, т.к. опережение открытия выпускного клапана и запаздывание его закрытия обеспечивают лучшую очистку цилиндра от отработавших газов, а опережение открытия и запаздывание закрытия впускного клапана позволяют улучшить наполнение цилиндра свежей горючей смесью.

  А. А. Сабинин.

Круговая диаграмма распределения.

Распределения по труду закон

Распределе'ния по труду' зако'н, объективный экономический закон социализма, согласно которому распределение большей части необходимого продукта осуществляется в соответствии с количеством и качеством труда, затраченного работниками в общественном производстве. Объективная необходимость распределения по труду обусловливается тем, что уровень развития производства при социализме ещё не создаёт изобилия предметов потребления и не обеспечивает полного и всестороннего удовлетворения потребностей людей; при ликвидации эксплуатации человека человеком никто не имеет права присваивать результаты чужого труда, и место каждого в социалистическом обществе определяется только его трудовыми достижениями; сохраняются значительные социально-экономические различия в содержании и характере труда, и труд не стал ещё первой потребностью жизни для всех трудящихся. В этих условиях при распределении требуется соответствие между мерой труда (количеством и качеством труда, затраченного работником) и мерой потребления (количеством предметов потребления, полученных от общества). «... Каждый отдельный производитель получает обратно от общества за всеми вычетами ровно столько, сколько сам дает ему. То, что он дал обществу, составляет его индивидуальный трудовой пай» (Маркс К., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 19, с. 18).

  Распределение по труду исключает нетрудовые доходы и паразитическое потребление, характерные для капитализма. Оно обеспечивает каждому трудящемуся жизненные средства в соответствии с его трудовым вкладом в общественное производство; равенство людей независимо от пола, возраста и национальности (равную оплату за равный труд); привлечение к труду всех трудоспособных граждан, повышение их квалификации, заимствование передового опыта, создаёт непосредственную материальную и моральную заинтересованность работников в результатах личного и коллективного труда, в труде по способностям, что служит предпосылкой для перехода к коммунистическому принципу распределения по потребностям.