,

где U (r) — потенциальная энергия взаимодействия, r — расстояние до силового центра (r_мин — минимальное расстояние), Е = р²_нач/2m — энергия частицы.

  На опыте обычно не измеряют рассеяние индивидуальной частицы, а направляют на мишень из исследуемого вещества пучок одинаковых частиц, имеющих одинаковую энергию, и измеряют количество частиц, рассеянных под данным углом. Число частиц dN, рассеянных в единицу времени на углы, лежащие в интервале J, J + dJ, равно числу частиц, проходящих в единицу времени через кольцо 2prdr×n. Если n — плотность потока падающих частиц (число частиц, проходящих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения частиц в пучке), то dN = 2prdr×n, а сечение упругого рассеяния ds определяется как отношение dN /n и равно

     (2)

(т. е., как уже отмечалось, сечение имеет размерность площади). Сечение рассеяния на все углы — полное сечение рассеяния — получается интегрированием (2) по всем прицельным параметрам. Если а — минимальный прицельный параметр, при котором J = 0 (т. е. частица проходит без отклонения), то полное сечение рассеяния s = pa².

  Квантовая теория рассеяния. В квантовой теории процессы упругого рассеяния и неупругие процессы описываются амплитудами рассеяния — комплексными величинами, квадрат модуля которых пропорционален сечениям соответствующих процессов. В 1943 В. Гейзенберг для описания процессов рассеяния ввёл т. н. S-матрицу, или матрицу рассеяния. Её матричные элементы определяют амплитуды различных процессов. Через матричные элементы S-матрицы выражаются физические величины, непосредственно измеряемые на опыте: сечение, поляризация частиц (среднее значение оператора спина), асимметрия, возникающая при рассеянии на поляризованной мишени и др. С др. стороны, матричные элементы S-матрицы могут быть вычислены при определённых предположениях о виде взаимодействия. Сравнение результатов опыта с предсказаниями теории позволяет проверить теорию.

  Общие принципы инвариантности (инвариантность относительно вращений, из которой вытекает сохранение момента количества движения, отражений — сохранение чёткости, обращения времени и др.) существенно ограничивают возможный вид матричных элементов S-матрицы и позволяют получить проверяемые на опыте соотношения. Например, из закона сохранения чётности следует, что поляризация конечной частицы при столкновении неполяризованных частиц направлена по нормали к плоскости рассеяния (плоскости, проходящей через начальный и конечный импульсы частицы). Измеряя направление вектора поляризации, можно выяснить, сохраняется ли чётность во взаимодействии, обусловливающем процесс. Изотопическая инвариантность сильных взаимодействий приводит к соотношениям между сечениями различных процессов, а также к запрету некоторых процессов. В частности, из изотопической инвариантности следует, что при столкновении двух дейтронов не могут образоваться a-частица и p°-мезон. Исследование этого процесса на опыте подтвердило справедливость изотопической инвариантности.

  Условие унитарности S-матрицы, являющееся следствием сохранения полной вероятности (суммарная вероятность рассеяния по всем возможным каналам реакции должна равняться 1), также накладывает ограничения на матричные элементы процессов. Одно из важных соотношений, вытекающих из этого условия, — оптическая теорема, связывающая амплитуду упругого рассеяния на угол 0° с полным сечением (суммой сечений упругого рассеяния и сечений всех возможных неупругих процессов).

  Из общих принципов квантовой теории (микропричинности условия,релятивистской инвариантности и др.) следует, что матричные элементы S-матрицы являются аналитическими функциямив некоторых областях комплексных переменных. Аналитические свойства матричных элементов S-матрицы позволяют получить ряд соотношений между определяемыми из опыта величинами — т. н. дисперсионные соотношения (см. Сильные взаимодействия),Померанчука теоремуи др.

  В случае упругого рассеяния бесспиновых частиц асимптотика волновой функции Y(r), являющейся решением Шрёдингера уравнения, имеет вид:

     (3)

  Здесь r — расстояние между частицами, k = p/

— волновой вектор, р — импульс в системе центра инерции (с. ц. и.) сталкивающихся частиц,  — постоянная Планка, J — угол рассеяния, f (J) — амплитуда рассеяния, зависящая от угла рассеяния и энергии сталкивающихся частиц. Первый член в этом выражении описывает свободные частицы с импульсом р =

 k (падающая волна), второй — частицы, идущие от центра (рассеянная волна). Дифференциальное сечение рассеяния определяется как отношение числа частиц, рассеянных за единицу времени в элемент телесного угла dW, к плотности потока падающих частиц. Сечение рассеяния на угол J (в с. ц. и.) в единичный телесный угол равно:

     (4)

  Для амплитуды рассеяния имеет место следующее разложение по парциальным волнам (волнам с определённым орбитальным моментом l):

     (5)

  Здесь P_l (cosJ) — Лежандра многочлен, S_l — коэффициенты разложения, которые зависят от характера взаимодействия и являются матричными элементами S-матрицы (в представлении, в котором она диагональна по энергии, моменту количества движения и проекции момента). Если число падающих на центр частиц с моментом l равно числу идущих от центра частиц с тем же моментом (случай упругого рассеяния), то IS_ll = 1. В общем случае lS_ll £ 1. Эти условия являются следствием условия унитарности S-матрицы. Если возможно только упругое рассеяние, то S_l может быть представлено в виде: S_l = e^2id_l, где d_l — вещественные величины, называемые фазами рассеяния. Если d_l = 0 при некотором l, то рассеяние в состояние с орбитальным моментом l отсутствует.

  Полное сечение упругого рассеяния равно:

     (6)

где

; — парциальное сечение упругого рассеяния частиц с орбитальным моментом l, = 1/k — длина волны де Бройля частицы. При Sl = —1  достигает максимума и равно:

     (7)

при этом d_l = p/2 (резонанс в рассеянии). Т. о., при резонансе сечение процесса определяется де-бройлевской длиной волны

 и для медленных частиц, для которых  >> R, где R — радиус действия сил, намного превосходит величину pR² (классическое сечение рассеяния). Этот факт (непонятный с точки зрения классической теории рассеяния) является следствием волновой природы микрочастиц.