Возьмите любую конечную последовательность 0 и 1 (или только 0 или только 1), неважно какой длины; пусть ее длина будет равняться п, что может составлять сотни миллионов. Начиная с п+1 члена продолжите бесконечную случайную последовательность («коллектив»). Тогда для объединенной последовательности значимыми будут только свойства некоторого концевого множества (начиная с некоторого m≥n+1), так как последовательность удовлетворяет требованиям фон Мизеса, если и только если им удовлетворяет ее концевое множество. Но это означает, что всякая эмпирическая последовательность просто иррелевантна для оценки любой бесконечной последовательности, в которой она образует начальный сегмент.
У меня была возможность обсудить эту проблему (помимо многих других) с фон Мизесом, Гели и Гансом Ганом. Они, конечно, согласились; но фон Мизес не был слишком обеспокоен этим. Его точка зрения (которая хорошо известна) состояла в том, что последовательность, удовлетворяющая его требованиям — «коллектив», как он ее называл, — является идеальным математическим понятием, типа сферы. Любая эмпирическая «сфера» может быть лишь грубым приближением.
Я был готов принять соотношение между идеальной математической сферой и эмпирической сферой в качестве модели отношения между математической случайной последовательностью («коллективом») и бесконечной эмпирической последовательностью. Но я подчеркивал, что не существует удовлетворительного смысла, в котором конечная последовательность могла бы быть объявлена грубым приближением коллектива в трактовке фон Мизеса. Поэтому я приступил к созданию чего-то идеального, но менее абстрактного: идеальной бесконечной случайной последовательности, которая обладала бы свойством случайности с самого начала, так чтобы каждый конечный фрагмент последовательности длины п был настолько идеально случаен, насколько это возможно.
В Logik der Forschung я набросал схему конструирования такой последовательности[166], но я тогда не осознавал полностью, что эта конструкция на самом деле решала (а) проблему идеальной бесконечной последовательности, которую можно было бы сравнивать с конечной эмпирической последовательностью; (b) проблему конструирования математической последовательности, которая могла бы быть использована вместо (неконструктивного) определения случайности фон Мизеса, и (с) проблему того, чтобы сделать избыточным постулат фон Мизеса о существовании предела, поскольку он теперь мог быть доказан. Или другими словами, я не понимал тогда, что моя конструкция замещала некоторые из решений, предложенных в Logik der Forschung.
Мои идеализированные случайные последовательности не являются «коллективами» в смысле фон Мизеса: хотя они прошли все статистические тесты на случайность, они определенно являются математической конструкцией — их продолжение может быть математически предсказано любым, кто знает метод их конструирования. Однако фон Мизес требовал, чтобы «коллектив» был непредсказуем («метод исключенной игровой системы»). Это радикальное требование имело неприятным следствием то, что нельзя было построить ни одного примера коллектива, поэтому конструктивное доказательство непротиворечивости этого требования оказалось невозможным. Единственным средством выхода из этого затруднения было, конечно же, ослабление этого требования. Так возникла интересная проблема: каким может быть минимальное ослабление, которое позволило бы осуществить доказательство непротиворечивости (или существования)?
Это было интересной, но не моей проблемой. Моей центральной проблемой было конструирование конечных случайноподобных последовательностей произвольной длины, которые могли бы быть расширены до бесконечных идеальных случайных последовательностей.
В начале 1935 года я прочитал лекцию по этому вопросу в одном из эпициклов Венского кружка, после которой был приглашен Карлом Менгером прочитать лекцию на его знаменитом «mathematisches Colloqium». Я обнаружил весьма избранное общество из примерно тридцати человек, среди которых были Курт Гедель, Альфред Тарский и Авраам Вальд; и, по словам Менгера, я стал невольным инструментом пробуждения интереса Вальда к теории вероятности и статистике, где он получил известность. В своем некрологе Вальду Менгер описывает этот случай так[167]:
«В это время произошло второе событие, оказавшееся важнейшим для всей дальнейшей жизни и работы Вальда. Венский философ Карл Поппер… попытался уточнить идею случайной последовательности и тем самым исправить очевидные недостатки определения коллективов фон Мизеса. После того, как я услышал (на собрании философского кружка Шлика) полутех-ническое изложение идей Поппера, я попросил его представить этот важный предмет во всех деталях Математическому Коллоквиуму. Вальд глубоко заинтересовался этим, и в результате появилась его превосходная статья о самонепротиворечивости понятия коллективов… Он основал свое доказательство существования коллективов на двусторонней релятивизации этого понятия».
Менгер продолжает характеристику определения коллектива Вальда и заключает[168]: «хотя релятивизация Вальда и ограничивает первоначально неограниченную (и неработающую) идею коллективов, она гораздо слабее требований нерегулярности Копленда, Поппера и Рейхенбаха. Фактически, она включает эти требования в качестве частного случая».
Все это чистая правда, и я сам был весьма впечатлен блестящим решением Вальда проблемы минимального ослабления требований фон Мизеса[169]. Однако, как я по случаю сказал Вальду, это не решало моей проблемы: «коллектив Вальда» с равными вероятностями для 0 и 1 по-прежнему мог начинаться с блока в сотни миллионов 0, поскольку случайность зависела только от того, как он ведет себя в пределе. Следует отметить, что работа Вальда предоставила общий метод деления класса всех бесконечных последовательностей на коллективы и не-кол-лективы, в то время как моя просто позволяла конструировать некоторые случайные последовательности заданной длины — по сути, некоторые весьма специальные модели. Однако любую заданную конечную последовательность, любой длины, всегда можно было продолжить так, чтобы она стала либо коллективом, либо неколлективом в смысле Вальда. (То же самое верно в отношении последовательностей Копленда, Рейхенбаха, Черча и других[170].)
Я долгое время испытывал ощущение, что мое решение моей проблемы, будучи с философской точки зрения вполне удовлетворительным, может быть сделано математически более интересным путем обобщения и что для этой цели может быть использован метод Вальда. Я обсудил эту тему с Вальдом, с которым мы подружились, надеясь, что он сам сможет это сделать. Но настали трудные времена: ни один из нас не смог вернуться к этой теме, пока мы оба не эмигрировали в разные стороны света.
Существует еще одна проблема, тесно связанная с вероятностью: проблема (измерения) содержания утверждения или теории. В Logik der Forschung я показал, что вероятность утверждения обратно пропорциональна его содержанию и что поэтому ее можно использовать для конструирования меры содержания. (Такая мера содержания была бы в лучшем случае сравнительной, если только речь не идет о какой-нибудь азартной игре или, возможно, какой-то статистике.)
Это наводило на мысль, что среди интерпретаций исчисления вероятностей есть две самые важные: (1) интерпретация, которая позволяет нам говорить о вероятности (единичных) событий, таких как результаты подбрасывания монетки или появление следов электрона на экране; и (2) вероятность утверждений или предположений, в особенности предположений (различной степени общности)[171]. Вторая интерпретация необходима тем, кто утверждает, что степень подкрепления может быть измерена вероятностью, а также тем, кто, подобно мне, отрицает это.
