Но существуют и два различия. Например, для логического содержания справедлив закон транзитивности: если b является элементом содержания a, a с — элементом содержания b, то с также является элементом содержания а. Несмотря на то, что, конечно же, существует соответствующее правило и для информационного содержания, оно состоит не в простом законе транзитивности, вроде приведенного[20].
Более того, содержание любого (не-тавтологичного) утверждения — скажем, теории t — бесконечно. Представим себе бесконечный список утверждений а, b, с…, которые попарно противоречивы, но из которых по отдельности не следует t. (Для большинства t адекватным для а будет «число планет равно 0», для b «число планет равно 1» и т. д.). Тогда утверждение «t или а, или и t и а» будет логически выводимо из t; то же самое верно относительно b и любого другого утверждения из списка. Из наших допущений относительно a, b, с… можно легко показать, что ни одна из пар в последовательности «t или а, или u t и a», «t или b, или и tub» не является взаимовыводимой; то есть ни одно из этих утверждений логически не следует из другого. Таким образом, логическое содержание t должно быть бесконечным.
Этот элементарный результат, касающийся логического содержания любой нетавтологичной теории, конечно же, хорошо известен. Аргументация здесь тривиальна, поскольку она основана на тривиальной операции с логическим (нестрогим) «или»[21]. Поэтому может возникнуть вопрос, не является ли бесконечность содержания вообще тривиальной проблемой, базирующейся просто на утверждениях типа «t или а, или и t и а», которые появляются в результате тривиального метода ослабления t. Однако в контексте информационного содержания становится ясным, что вопрос не настолько тривиален, как кажется.
Пусть рассматриваемой нами теорией будет теория гравитации Ньютона, назовем ее N. Тогда любое утверждение или любая теория, несовместимые с N, будут принадлежать информационному содержанию N. Назовем теорию гравитации Эйнштейна Е. Поскольку эти две теории несовместимы, каждая принадлежит информационному содержанию другой; каждая из них исключает, или не допускает, или запрещает другую.
Это показывает очень интуитивным образом, что информационное содержание теории t бесконечно в далеко не тривиальном смысле: любая теория, несовместимая с t, а потому и любая будущая теория, которая однажды превзойдет t (скажем, после того, как некий решающий эксперимент выскажется не в пользу t), очевидно принадлежит информационному содержанию t. Но не менее очевидно и то, что мы не можем знать или конструировать эти теории заранее: Ньютон не мог предвидеть Эйнштейна и его последователей.
Конечно, теперь легко обнаружить в точности сходную, но немного менее интуитивную ситуацию, касающуюся логического содержания: поскольку Е принадлежит информационному содержанию N, не-Е принадлежит логическому содержанию N: не-Е выводится из N — факт, который также не мог быть известным ни Ньютону, ни кому-нибудь до того, как была открыта Е.
В своих лекциях я часто описывал эту ситуацию такими словами: мы никогда не знаем, о чем говорим. Потому что когда мы выдвигаем теорию или пытаемся понять теорию, мы также выдвигаем или пытаемся понять ее логические следствия, то есть все те утверждения, которые из нее вытекают. Но это, как мы только что видели, бесполезное занятие: существует бесконечное множество непредсказуемых нетривиальных утверждений, принадлежащих информационному содержанию любой теории, и точно соответствующее ему бесконечное множество утверждений, принадлежащих ее логическому содержанию. Поэтому мы никогда не можем знать или понимать всех следствий любой теории или ее полной значимости.
Этот результат, как мне кажется, является удивительным только до тех пор, пока мы говорим о логическом содержании; но когда речь идет об информационном содержании, он выглядит вполне естественным. (В печатной форме я видел его только однажды[22], хотя и ссылался на него в моих лекциях на протяжении многих лет). Он показывает, помимо всего прочего, что понимание теории — это всегда бесконечный процесс и что в принципе теории могут пониматься каждый раз все лучше. Он также показывает, что если мы хотим понять теорию лучше, то в первую очередь мы должны открыть ее логические взаимоотношения с существующими теориями, которые образуют то, что мы можем назвать «проблемной ситуацией» в определенный момент времени.
Заметим при этом, что мы также пытаемся заглянуть вперед: мы пытаемся открыть новые проблемы, поднятые нашей теорией. Но эта задача бесконечна и никогда не может быть завершена.
Таким образом, выходит, что формулировка, которую я вначале назвал «чисто интуитивной и, быть может, немного сырой» теперь может быть прояснена. Нетривиальная бесконечность содержания теории, как я здесь ее описал, превращает проблему значимости теории в вопрос частично логической и частично исторической природы. Последний аспект зависит от того, что было открыто о содержании теории в определенный момент времени в свете преобладающей проблемной ситуации, что является проекцией этой проблемной ситуации на логическое содержание теории[23].
Подводя итоги, заметим, что существует по крайней мере один смысл слова «смысл» (или «значимость») теории, который делает его зависимым от ее содержания, а также более зависимым от ее взаимоотношения с другими теориями, чем от смысла любого множества слов.
Это, как мне кажется, одни из наиболее важных результатов, на протяжении всей моей жизни постоянно возникавших из моего антиэссенциалистского заклинания, которое, в свою очередь, было спровоцировано дискуссией, описанной в главе 6. Еще одним результатом было простое понимание того, что стремление к точности в словах ли, в понятиях или значениях сродни ловле диких гусей. Таких вещей, как точное понятие (скажем, в смысле Фреге), просто не существует, хотя понятия вроде «цены этого чайника» или «тридцати пенсов» обычно достаточно точны для контекста проблемы, в котором они употребляются. (Но обратите внимание, что понятие «тридцать пенсов», будучи социальным или экономическим, сильно изменчиво. Несколько лет назад оно имело совсем другой смысл, нежели теперь).
Фреге думает по-другому, ибо вот что он пишет: «Определение понятия… должно недвусмысленно устанавливать для каждого объекта то, подпадает ли он под это понятие или нет… Пользуясь метафорой, мы можем сказать: понятие должно иметь острые края»[24].
Однако ясно, что для того, чтобы требовать такого рода абсолютной точности от определяемого понятия, следует сначала потребовать ее от определяющих понятий и, в конечном счете, от неопределенных или примитивных терминов. Но это невозможно. Потому что одно из двух: либо наши неопределенные или примитивные термины имеют традиционное значение (которое никогда не бывает очень точным), либо они введены посредством так называемых «имплицитных дефиниций» — то есть посредством способа, которым они используются в контексте теории. Этот последний способ их ввода — если их вообще нужно «вводить» — кажется наилучшим. Но он делает значение понятий зависимым от значения теории, а большинство теорий имеют более чем одну интерпретацию. В результате имплицитно определенные понятия, а вместе с ними и все понятия, определенные с их помощью эксплицитно, становятся не просто «смутными», но систематически двусмысленными. А различные систематически двусмысленные интерпретации (как точки и прямые в проективной геометрии) могут быть совершенно различными.
