Тот факт, что отношение длины окружности к ее диаметру есть инвариант (число π), был истолкован пифагорейцами как манифест связности и единства мира. Пугала, впрочем, иррациональность этого числа, его несоразмерность, его неповторимость притом, что оператор расчета представлял собой сплошное повторение. Сначала в окружность вписывался правильный треугольник, потом квадрат, потом шестиугольник, и так далее. Чем больше число сторон вписанного многоугольника n→∞, тем ближе результат к пределу

т.е. длина окружности конечна: L = πD.

Здесь сам инвариант (число π), будучи символом, представляет собой отношение длины к диаметру окружности π = L/D. Фрактальная кривая, например, остров Коха, отличается от окружности тем, что она, будучи ограниченной, не имеет конечной длины. Кривая Коха в целом и любой ее фрагмент имеют бесконечную длину:

Льюис Ричардсон изучал протяженность береговой линии западного побережья Британии. Эксперименты свидетельствовали, что длина береговой линии возрастает с уменьшением масштаба измерения, в пределе — до бесконечности. В процессе измерения мы имеем дело с функционалом. В математике понятием «функционал» обозначают оператор, который отображает многообразие (пространство) функций в числовое множество. Функционал может быть рассчитан, например, интегрированием функции в определенном диапазоне параметров. В этом смысле результат измерения длины береговой линии есть функционал, и он зависит от процесса измерения.

Леонардо да Винчи открыл, что все ветки дерева на данной высоте, сложенные вместе, равны по толщине стволу ниже их уровня. Рассмотрим ствол дерева диаметром d, который разделяется на две главные ветви с диаметрами d₁ и d₂. Леонардо да Винчи считал, что для беспрепятственного движения соков вверх по дереву поперечные сечения двух главных ветвей в сумме должны быть равны поперечному сечению ствола:

То же самое соотношение выполняется в месте слияния двух рек, если d — ширина рек. Установлено, что ширина d реки пропорциональна квадратному корню из количества воды Q, переносимого рекой: d ~ Q^0.5. Однако глубина реки t, как правило, изменяется в соответствии с законом t ~ Q^0.4. Возникающая разница восполняется за счет увеличения скорости течения v, которая пропорциональна Q^0.1. Иначе говоря, река, образовавшаяся от слияния двух притоков одинаковой величины и несущая, таким образом, вдвое больший объем воды в секунду, обычно в 1,4 раза шире каждого из своих притоков, но лишь в 1,3 раза глубже их. Скорость же течения реки приблизительно в 1,1 раза больше, чем скорость течения притоков. Разумеется, 1,1 х 1,3 х 1,4 = 2. Таким образом, в обобщенной форме для реки:

где n=2, выполняется в месте слияния двух рек вследствие наложения нескольких условий.

Ветвление и слияние: точка бифуркации

Бронхи легкого достигают показателя степени n ~ 3, обусловленного требованием минимального сопротивления потоку воздуха во всей бронхиальной системе. Это требование подразумевает существование постоянного «коэффициента ветвления» d/d₁ = d/d₂ = 2^1/3. B этом случае показатель n должен быть равен 3. Мандельброт указал, что показатель степени равен трем, если выполняется определенное функциональное правило (алгоритм) ветвления:

«Рост начинается с почки. Из почки вырастает  трубка, на которой образуются две новых почки, ƒ каждая из которых ведет себя вышеописанным образом».

Структура легких человека Простейшая сетевая структура

Развитие по этим правилам образует структуру легкого. Значение n = 3 получается просто вследствие максимальной поверхности легкого в ограниченном пространстве.

Заметим, что фрактальная размерность бронхиальных путей в легких равна 1,07. Если мы рассмотрим сосудистую систему человека, то обнаружим множество изгибов, ветвлений и скручиваний, позволяющих заполнить все три измерения человеческого тела. При этом фрактальная размерность артерий равна 2,7. Тот факт, что у сложной и разветвленной структуры появляется такая величина, как фрактальная размерность, говорит о некоем принципе организации. Или, если хотите, это своего рода структура самой структуры.

Американский математик Рон Эглеш был поражен, когда в хаотической структуре африканских поселений он вдруг усмотрел фрактальные структуры. С этого момента началось его увлечение поиском фракталов в африканской культуре.

«Я математик и я хочу встать на вашу крышу».

Такими словами Рон Эглеш приветствовал многие африканские семьи, которые встречал во время исследования фрактальных узоров, замеченных в деревнях на этом континенте...

А все началось с того, что математик Рон Эглеш в 80-х годах прошлого века обратил внимание на фрактальные структуры африканских деревень. В своей монографии «African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design» Рон Эглеш приводит множество примеров. Некоторые из них мы скопировали. Но наиболее интересно видео, запечатлевшее выступление Рона Эглеша на конференции TED (Technology, Entertainment and Design) в 2007 году, которое можно найти по QR-коду.

Выступление Рона Эглеша, 2007 год

План города Лагун-Бирни (Logone-Birni) в Камеруне (а), первые три итерации фрактальной модели Лагун-Берни (б)

Поселение Бамилек (Bamileke settlement) План поселения в i960 (а), фрактальная симуляция поселения (б), увеличение четвертой итерации (в)

Лаббезанга (Labbezanga) в Мали. Вид с высоты птичьего полета (а), фрактальный аналог (б)

Случилось так, что Рон Эглеш, будучи в Южной Замбии, попал в деревню Ба-йла. Вот его рассказ:

«Когда я добрался туда, то попал во дворец вождя,  а мой французский не был очень хорош; я сказал  что-то вроде: "Я математик и мне бы хотелось встать на вашу крышу". Но он оказался классным парнем и отвел меня туда, и когда мы говорили о фракталах, он сказал: "О да, да! Мы знали о треугольнике внутри треугольника, мы знаем все об этом". Оказалось, что королевская эмблема содержит треугольник внутри треугольника внутри треугольника, и что проход через дворец на самом деле спиральный. И пока ты идешь по проходу, становишься все более вежливым и сговорчивым. Так они отображают социальное деление в геометрическом соотношении; это сознательный узор. Это не то, как бессознательно растут деревья или строятся термитники».