Здесь реализуется кумулятивная фиксация образа, то есть накопительное пошаговое формирование его так, что фрагмент n-го шага накладывается на образ n-1 шага.

Данный метод позволяет построить фрактал Серпинского при помощи алгоритма построения так называемых FASS-кривых. Название происходит от английского описания подобных кривых: «space-Filling, self-Avoiding, Simple and self-Similar», что означает «кривые, заполняющие собой всю плоскость, без самопересечений, состоящие из простых и самоподобных фрагментов». Пошаговое построение FASS-линии при многократном повторении может произвести фрактал Серпинского.

Конечно, при фиксации образа последующего шага все предыдущие построения «стираются».

Метод L-систем был изобретен в 1968 году не математиком, а венгерским биологом Аристидом Линденмайером, разработавшим метод описания сложных природных систем и процессов с помощью простых составляющих и правил их преобразования.

Линденмайер использовал формальную грамматику, опирающуюся на правила генерации преобразования символов. L-система позволяет получить сложную форму при помощи аксиомы и правил преобразования. Результат этого процесса детерминирован, то есть строго и однозначно определен алгоритмом построения. Однако проблемой метода в общем смысле является то, что предсказать конечный результат невозможно до тех пор, пока алгоритм не будет завершен полностью. При этом каждый шаг вызывает удлинение командной строки, а значит, на ее обработку требуется все больше и больше времени, так что даже для современных компьютеров этот процесс достаточно долог, а в далеком 1968 году на решение задачи потребовалась бы почти вечность.

Рассмотрим алгоритм построения «салфетки Серпинско- го» методом L-систем немного подробнее.

Аксиомой этого процесса служит выражение: FXF — — FF — — FF. Имеются также три правила:

Нулевой шаг процесса имеет вид: FXF — — FF — — FF. Уже первый шаг имеет довольно длинную запись:

О длине записи на десятом или двадцатом шаге даже говорить не приходится. Впрочем, для вычислительной машины это не проблема. Заметим, что, в отличие от предыдущего алгоритма, при фиксации следующего шага все предыдущие построения не стираются. Поскольку фрактальные алгоритмы сводятся к повтору установленных правил, общей идеей для их вычислений будет организация цикла, в котором по завершении последней операции программа будет возвращаться к исходной операции. Эта операциональная петля не возвращает нас к начальной точке, но каждый раз переопределяет начальные условия. Начальные условия обновляются на каждом такте цикла построения фрактала, и это всякий раз приводит к новому результату в конце цикла. Промежуточные результаты могут «стираться», но могут и накапливаться. Команда «стирать» или «сохранить» — последняя команда в цикле построения фрактала.

Метод систем итерированных функций (IFS — Iterates Function System) был разработан Майклом Барнсли на основе сжимающих аффинных преобразований, которые мы рассмотрим подробно в главе III. Пока иллюстрируем этот метод простым примером.

Дано: равносторонний треугольник с координатами углов А (0,0), В (1,0), С (1/2,3^1/2/2),Z₀и произвольная точка внутри этого треугольника — игральная кость, на гранях которой имеется по две буквы A, В и С.

Шаг 1. Бросаем кость. Вероятность выпадения каждой буквы составляет 2/6 = 1/3.

• Если выпала буква А — строим отрезок z₀ - А, на середине которого ставим точку z₁.

• Если выпала буква В — строим отрезок z₀ - В, на середине которого ставим точку z₁.

• Если выпала буква С — строим отрезок z₀ - С, на середине которого ставим точку z₁.

Шаг 2. Бросаем кость еще раз.

• Если выпала буква А — строим отрезок z₁ - А, на середине которого ставим точку z₂.

• Если выпала буква В — строим отрезок z₁ - В, на середине которого ставим точку z₂.

• Если выпала буква С — строим отрезок z₁ - С, на середине которого ставим точку z₂.

Повторяя операцию много раз, мы получим точки z₃, z₄, ..., z_n. Особенность каждой из них в том, что точка находится точно на полпути от предыдущей до произвольно выбранной вершины. Теперь, если отбросить достаточно большое количество точек, например, от z₀ до z₁₀₀, то остальные при достаточно большом их количестве образуют структуру «салфетки Серпинского». Чем больше точек, чем больше итераций, тем явственнее является наблюдателю фрактал Серпинского. И это притом, что процесс идет, казалось бы, случайным путем (благодаря игральной кости). «Салфетка Серпинского» представляет собой своего рода аттрактор процесса, то есть фигуру, к которой стремятся все траектории, построенные в этом процессе при достаточно большом количестве итераций. Фиксация образа при этом представляет собой кумулятивный, накопительный процесс.

Каждая отдельная точка, быть может, никогда и не совпадет с точкой фрактала Серпинского, но каждая следующая точка этого организованного «по случаю» процесса притягивается ближе и ближе к точкам «салфетки Серпинского». При этом радиус попадания каждой следующей точки в окрестность точки фрактала Серпинского уменьшается экспоненциально. Например, так. На 10-м шаге размеры радиуса попадания составляют 2^-10 или 10^-3 метра. Одна тысячная метра — миллиметр. Такое различие вполне различимо невооруженным глазом. Но уже на 30-м шаге получим размеры 2^-30 или 9 х 10^-10 метра. Для тех, кому эти цифры мало что говорят, скажем, что это примерно равно размеру атома, и заметить такое отличие можно только в самый мощный современный электронный микроскоп. Согласитесь, что такое попадание можно считать точным и полным с практической точки зрения.

Неудивительно, что, брызгая краской на холст без строгих и четких правил, вам не повторить полотен Джексона Поллока.

Для повторения необходимо организованное пространство (холст, краски, кисти), алгоритм действий и еще, самое главное, — дух Джексона Поллока. Дух — это абстрактная, нематериальная субстанция. И если она оставляет свой след, то это символический знак, такой как фрактальная размерность.

Слева направо: окружность, вписанная в пятиугольник; остров Коха; побережье Мальдив

Фрактальная размерность есть число, которое не выводится из геометрических пропорций фрактала, и это отличает ее от пифагорейского инварианта окружности — числа π (Пример 1). Фрактальная размерность не выводится из алгоритма построения фрактала, и это иллюстрируют ветвление деревьев и слияния рек, рассмотренные Леонардо да Винчи (Пример 2). Фрактальная размерность выражает и структуру, и алгоритм, как это интерпретирует пример Мандельброта — формирование бронхиальной системы (Пример 3).