Это число появляется снова и снова в разных процессах. Оно является такой же характеристикой для сценариев удвоения периодов, как число π для отношения длины окружности к ее диаметру, которое называют теперь «числом Фейгенбаума». Один из пионеров теории хаоса американец Митчелл Фейгенбаум проделал вычисления на своем калькуляторе в Лос-Аламосе для целого ряда различных процессов и получил в каждом случае один и тот же множитель. Он установил универсальность этого числа.

Это открытие вызвало невероятную активность ученых во многих областях науки. Было поставлено огромное число экспериментов, показавших, что сценарий удвоения периода действительно наблюдается во многих естественных системах. Одним из первых, кто осознал важность изучения процесса Ферхюльста, был один из создателей современной биоматематики биолог Роберт М.Мэй. Еще в 1976 году он писал:

 «Я настоятельно советую, чтобы люди знакомились, скажем (с уравнением Ферхюльста), на раннем  этапе своего обучения математике. Это уравнение можно изучать феноменологически, итерируя его на калькуляторе или даже вручную. Такое изучение очень обогащало бы интуитивные представления учащегося о нелинейных системах... Для всех нас было бы лучше, если бы не только в научной работе, но и в повседневной политической и экономической жизни как можно больше людей поняло, что простые нелинейные системы не всегда обладают простыми динамическими свойствами».

Глава III.

Фракталы и сложность

• Сложность простоты

• Фрактальные границы Ньютона

• Фрактал Мандельброта — метафрактал

• Клеточные автоматы

• Мультифракталы

• Перколяция: поры и сети

• Аффинное преобразование

• Игра хаоса

• Фрактальное кодирование

• Суперфракталы

• Алеаторные фракталы

Х.-О Пайтген, П. X Рихтер. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. 1989

Мир в целом становился более чувственным и более эмоциональным, оставаясь рациональным. Эмоциональное развивается в сторону все более сложных и тонких эмоций. Рациональное стремится к простоте. Оба тренда согласованы и чудесным образом совместимы:

Простой алгоритм производит сложные формы.

Сложной форме границ сопутствует сложная внутренняя организация фрагментов сложных систем, таких, как многообразие Жюлиа. Разнообразие множеств Жюлиа кажется ошеломляющим. И все же каждое из множеств Жюлиа строго и точно сопряжено со всеми остальными множествами из семейства множеств Жюлиа. Эта согласованность проявляет себя в том, что есть некоторое организующее множество, своего рода путеводитель в мире множеств Жюлиа. Это множество Мандельброта. Каждая точка множества Мандельброта говорит нам о том, какого вида множество Жюлиа следует ожидать для данного значения постоянной С в алгоритме Жюлиа.

Многообразию множеств Жюлия сопутствует «единообразное многообразие» — множество Мандельброта. Оно проявляется снова и снова, различных размеров, но всегда одной и той же формы. Оно не является множеством Жюлиа, а представляет собой структуру организации таких множеств. Оно напоминает геном: каждая клетка содержит полный геном, совокупность всех форм проявления, но в любой точке организма на самом деле проявляется только некоторая малая часть этих форм.

Сам по себе порядок Мандельброта в структуре всех множеств Жюлиа свидетельствует о том, что сложное поддается систематическому изучению. Благодаря вычислительной технике удается привести в порядок огромный массив информации, придав ей вид и смысл.

Например, мы можем раскрасить фрактал. Это есть своего рода кодирование. Выбор цвета, с одной стороны, приводит к некоторой потере информации, с другой стороны — перераспределяет акценты внимания в силу воздействия на наше эмоциональное восприятие. Сложность появляется на границе множества Мандельброта. На простом черно-белом изображении этого не видно (черный цвет соответствует связным, а белый — разрывным множествам Жюлиа). Даже 256 оттенков могут дать только слабый намек на действительную сложность границы множества Мандельброта. Чтобы понять структуру границы, требуется рассматривать ее в динамике — в процессе построения.

Каким образом раскрашивается окрестность множества Мандельброта?

Представим себе, что множество изготовлено из металла и несет на себе электрический заряд. Тогда его поверхность имеет постоянный электрический потенциал, скажем, 1000 V. В области, окружающей проводник, потенциал падает до ноля, и мы отмечаем линии постоянного напряжения, так называемые эквипотенциальные линии. Например, линия, соответствующая потенциалу в 1 V, настолько далека от проводника, что выглядит почти окружностью, так как с такого расстояния М кажется почти точечным зарядом. Линия 900 V, напротив, несколько напоминает форму М, а линия 999 V уже довольно точно повторяет его контуры. Раскраска наших рисунков соответствует этим линиям. Все точки, лежащие между двумя такими линиями, окрашиваются одинаково. Разные цвета дают контурную карту электростатического потенциала между границей М и бесконечностью. В 1983 году француз Адриен Дуади и американец Джон Хаббард доказали, что эквипотенциальные линии точно отражают динамику критической точки х = 0. Эквипотенциальные линии являются линиями одинакового времени убегания в бесконечность начальной точки х₀ = 0.

Множество Мандельброта с эквипотенциальными линиями и силовыми линиями поля

Множество Мандельброта не относится к множествам Жюлиа, но они теснейшим образом связаны и структурно подобны. На это указывает тот факт, что формы отдельных фрагментов множества Мандельброта напоминают формы множества Жюлиа. Множество Мандельброта появилось как следствие исследования границы между сплошными и разрывными множествами Жюлиа. Именно граница множества Мандельброта указывает на изменение природы множеств Жюлиа. Когда параметр С покидает множество Мандельброта, множества Жюлиа теряют свою связность, взрываются и превращаются в пыль.

Этот переход «в пыль» связан с тем, что каждая точка множества Жюлиа одновременно касается областей притяжения всех аттракторов. На определенном удалении от скопления аттракторов такое пересечение границ теряет свою непрерывность.

Переход от непрерывности к дискретности тесно связан с притяжением, а тема притяжения неизбежно притягивает идеи Ньютона.

Сэр Исаак Ньютон заложил основы классической механики, оптики, исчисления бесконечно малых. Но кроме того он открыл еще множество менее известных методов, с пользой применяющихся и сегодня. Например, он формализовал алгоритм «проб и ошибок», известный со времен античности. Решение начинается с выбора произвольного числа. Далее итерация этого числа по определенному алгоритму приводит к решению. Процесс обыкновенно идет достаточно быстро, и количество точных цифр после запятой, как правило, удваивается с каждым шагом. Примером такого итерационного алгоритма служит «метод касательных».

Пусть задана функция ƒ (х), для которой известно приближенное значение ее корня x₁ также значение функции ƒ (x₁) и ее производная ƒ′(x₁). Тогда, проводя касательную к графику функции ƒ (х) в точке х₁ и определяя ее пересечение с осью ОХ, получаем уточненное значение корня, равное х₂. Поскольку уравнение касательной имеет вид