на любом масштабе эта траектория самоподобна.

Самоподобие само по себе — это уже некоторый порядок. Порядок, как и хаос, — это качества поведения динамической системы. В свою очередь, динамическая система — это всего лишь объект, выделенный для наблюдения. Этим объектом может быть луг, на котором живут и размножаются кролики Фибоначчи, состояние атмосферы, которое отражают показания термометров на метеорологических станциях, экономика в той ее форме, которую фиксируют индексы цен на бирже, компьютерная программа, которая симулирует движение Луны на небосводе.

Таким образом, динамическая система — это некоторая абстракция. Никакая абстракция в точности не соответствует реальности. Поэтому, говоря о поведении динамической системы, мы имеем в виду поведение той или иной модели, описывающей выделенный для наблюдения объект реальности.

Классическая физика занималась такими динамическими системами, которые можно было не только выделить, но и отделить, изолировать от окружающей среды. В модели изолированной динамической системы ее энергия сохраняется. Такие системы называют консервативными. В частности, маятник, совершающий колебания без трения, представляет собой консервативную динамическую систему. В реальности механическая энергия не сохраняется, а постепенно рассеивается (диссипирует) и переходит в тепло, т. е. в энергию микроскопического движения молекул, составляющих систему и ее окружение. Такая модель называется диссипативной динамической системой. Строго говоря, в этом случае временная эволюция должна определяться не только состоянием самой системы, но и ее окружением. При этом оператор эволюции может обусловливать деградацию системы и ее «тепловую смерть», но может приводить к усложнению и развитию динамической системы.

Пусть в некотором фазовом пространстве есть кластер динамических систем, которые подчиняются единому оператору эволюции. Динамические системы кластера отличаются друг от друга только начальными параметрами. С течением времени каждая точка кластера перемещается в фазовом пространстве, как предписано оператором системы, так что форма кластера и его размеры будут меняться. Может случиться, что фазовый объем кластера в процессе временной эволюции будет оставаться постоянным. Это характерно для консервативных систем.

Кластер диссипативных систем ведет себя иначе. С течением времени он «съеживается» и концентрируется в итоге на одном или нескольких аттракторах — подмножествах фазового пространства нулевого или ограниченного объема. С точки зрения динамики во времени это означает, что режим, возникающий в системе, предоставленной самой себе, в течение времени «забывает» свое начальное состояние и принимает состояние аттрактора, к которому стремится.

Динамическая система может вести себя устойчиво или неустойчиво. В первом случае траектории, близкие в начальном состоянии, остаются близкими в процессе эволюции динамической системы. Во втором случае траектории, близкие в начальный момент, в процессе эволюции динамической системы быстро удаляются друг от друга. Сколь бы малой ни была погрешность в определении исходного состояния системы, со временем она быстро нарастает, пока не достигнет размера аттрактора. После этого положение динамической системы в фазовом пространстве становится «размытым», и точно предсказать поведение системы практически невозможно. Однако можно говорить о вероятности того, что динамическая система обнаружит себя в той или иной точке аттрактора.

Процесс временной эволюции для консервативных систем

Между теорией динамических систем и теорией вероятности много общего. Так, множеству событий в ограниченном объеме фазового пространства можно приписать некоторое число, аналогичное понятию вероятности. Это число получило название «инвариантной меры». Ее можно интерпретировать как вероятность того, что траектория посетит данное множество. Связь между теорией динамических систем и теорией вероятности оказывается глубже, чем формальная аналогия.

Дело в том, что в основе теории динамических систем лежит понятие фазового пространства, а в основе теории вероятности — «пространство элементарных событий». То и другое исключают только один параметр — время. Пространство элементарных событий подразумевает идею о том, что все возможные исходы случайного процесса можно представить в виде точек в пространстве. В простых случаях это пространство сводится к нескольким точкам, однако в сложных ситуациях может представлять собой их непрерывное множество, совсем как фазовое пространство. В пространстве элементарных событий также существуют области притяжения — аттракторы. Уже в XVI веке Джероламо Кардано в «Трактате об азартных играх» отделял фатум, удачу и примету от манипуляций при играх в карты или в кости. Он, опытный игрок, знал лучше многих, как изменение центра тяжести кости притягивает более частое выпадение одной из ее сторон. Реализацию одного из элементарных событий система притягивает как магнит. И это напоминает области притяжения динамических систем в фазовом пространстве — аттракторы.

Аттракторы

Абстрактное понятие «фазовый портрет» появилось в XX веке. После того как Эйнштейн показал, что по отношению к свету все движется с одинаковой скоростью, идея представления динамического поведения системы в форме застывших линий стала казаться естественной.

Для иллюстрации этой идеи рассмотрим маятник. Простота его колебаний обманчива. Судите сами. Аристотель рассматривал колебания камня на нити, а Галилей наблюдал колебания люстры в Пизанском соборе. При этом первый видел, как конечная точка предопределяет траекторию движения камня, а второй — как, опускаясь в процессе колебаний, люстра приобретала скорость, позволяющую ей подняться на ту же высоту.

Первые опыты с маятником Жан Фуко проводил в 1851 году в погребе, потом в парижской обсерватории, потом под куполом Пантеона. Наконец, в 1855 году маятник Фуко был подвешен под куполом парижской церкви Сен-Мартен-де-Шан (ставшей к этому времени парижским Музеем искусств и ремесел). Длина каната маятника Фуко — 67 м, вес гири — 28 кг. Именно его описывает Умберто Эко в своем романе «Маятник Фуко»:

«И тут я увидел Маятник. Шар, висящий на долгой нити, опущенной с вольты хора, в изохронном величии описывал колебания. Медный шар поигрывал бледными переливчатыми отблесками под последними лучами, шедшими из витража. Если бы, как когда-то, он касался слоя мокрого песка на плитах пола, при каждом из его касаний прочерчивался бы штрих, и эти штрихи, бесконечно мало изменяя каждый раз направление, расходились бы, открывая разломы мистической розы... Если бы я пробыл там долго, я поверил бы, что колебательная плоскость совершила полный оборот и возвратилась в первоначальное положение, описав за тридцать два часа сплюснутый эллипс, эллипс создавался обращением плоскости вокруг собственного центра с постоянной угловой скоростью, пропорциональной синусу географической широты».

И это всего лишь один из возможных режимов колебаний маятника с одного из возможных ракурсов обзора. С огромного расстояния маятник выглядит как точка. Точка всегда неподвижна. Приближаясь, мы различим систему с тремя типовыми траекториями: гармонический осциллятор (sin φ ≈ φ), маятник (колебания назад-вперед), пропеллер (вращение). Там, где локальный наблюдатель видит одну из трех возможных конфигураций движения шара, отстраненный от процесса аналитик может предположить, что шар совершает одно из трех типовых движений. Это не только можно предположить, но даже изобразить на одном плане.