«Свойства поведения клеточных автоматов могут оказаться общими свойствами поведения многих сложных систем с необратимой динамикой».

Клеточные автоматы — это дискретные математические модели, в которых простые локальные правила генерируют неожиданно сложное поведение в более крупном масштабе. Вольфрам — один из главных сторонников той точки зрения, что клеточные автоматы — не только увлекательная математическая игра, но и способ объяснить сложность физического мира. Мысли Вольфрама по этому поводу изложены в книге «А New Kind of Science» («Новый вид науки»), которую он опубликовал на свои средства в 2002 году. В частности, в ней Вольфрам утверждает, что информация, полученная благодаря анализу «правила 30», открывает новую научную парадигму примирения порядка и хаоса. Правило представляет интерес, потому что оно порождает сложные, во многих отношениях случайные структуры из простых, четко определенных правил. Вольфрам полагает, что клеточные автоматы в целом и «правило 30» в частности — ключ к пониманию того, как простые правила могут порождать сложные структуры и различное сложное поведение разных природных объектов. В своей книге он задается фундаментальным вопросом о структуре Вселенной и дает неожиданный ответ:

«Структура Вселенной аналогична решетке в моделях клеточных автоматов, которая существует вне пространства и времени».

Вне пространства и времени существует символическая реальность. В начале книги я говорил, что необходимо изменить наши представления о реальности так, чтобы признать символ столь же реальным и весомым как вещество и действие. Символ существует вне пространства и вне времени, но он структурирует материю и упорядочивает ее поведение в пространстве и времени. Собственно само пространство и само время есть символические качества, которые доступны нам благодаря шестому чувству — сознанию. Сознание — это такое чувство, которое позволяет воспринимать и различать символы. Символы благодаря своему рациональному и чувственному воздействию формируют реальность, которая поддерживает и производит символический строй.

Мультифракталы — это «составные», «неоднородные» или «комплексные» фракталы, в построении которых задействовано несколько последовательно сменяющих друг друга алгоритмов. Каждый из них генерирует паттерн со своей фрактальной размерностью.

Мультифрактал — обобщение фрактала, для описания которого недостаточно одной размерности. Вместо нее требуется много размерностей.

Чтобы пояснить, что такое мультифрактал, рассмотрим примеры.

Если кривая состоит из линии Коха с D = 1,261 и линии Гивена с D =1.465, то из уравнения

численным решением находим D = 1,226. Интересно, что в данном случае имеем точное решение:

Мультифрактальная размерность линии, составленная из кривой Коха и кривой Гивена

Если двухмерный «ковер Серпинского» на основе квадратов имеет фрактальную размерность D = ln8/ln³ = 1,893..., а двухмерный «ковер Серпинского» на основе треугольников имеет фрактальную размерность D = ln³/ln², то полученная на их основе мультифрактальная фигура будет иметь фрактальную размерность D = 1,4483...

Размерность, вычисляемая по формуле

R₁^D + R₂^D = R^D,

называется мультифрактальной.

«Ковры Серпинского»: а — квадратный; б — треугольный; в — мультифрактальная фигура

Построение двухмасштабного канторовского стержня с l₁ = 1/4 и l₂ = 2/5. Фрактальная размерность такого канторовского множества D = 0,6110

В тонком слое между порядком и хаосом, в окрестности критической точки, происходит каскад бифуркаций и формируется фрактальное множество точек бифуркаций — пыль с интересными и нетривиальными свойствами (в литературе используются также термины «критический аттрактор» или «аттрактор Фейгенбаума»). Эта пыль имеет фрактальную размерность. Для критического аттрактора Фейгенбаума она вычислена с высокой точностью и составляет

Так как фрактальная размерность критического аттрактора меньше единицы, можно заключить, что он имеет нулевую меру, если ее понимать как предел суммарной длины интервалов, оставляемых на последовательных уровнях построения. В то же время, как и канторово множество, он обладает мощностью континуума. Последнее вытекает из того, что можно построить правило кодирования принадлежащих аттрактору точек в виде мультифрактала с двумя масштабами r и d. Довольно хорошей аппроксимацией критического аттрактора служит двухмасштабное канторово множество.

Тот факт, что результат асимметричен, объясняется присутствием двух характерных масштабов — α и δ. При этом с высокой степенью точности структура фрактала описывается одним параметром — коэффициентом Фейгенбаума:

Эта универсальность является следствием того обстоятельства, что толщина аттрактора Фейгенбаума исчезающе мала (Δr→0), и, следовательно, масштаб фиксации величины α несоизмерим (много больше) с масштабом фиксации величины δ, так что влияние последней можно в первом приближении игнорировать.

1. Бифуркация Фейгенбаума.

2. График сигма-функции Фейгенбаума.

3. «Дьявольская лестница» Кантора.

4. Двухмасштабное канторово множество, построенное с использованием факторов 1/α и 1/α²

Для критического аттрактора факторы масштабного подобия оказываются разными в разных областях пространства состояний. В частности, вблизи точки экстремума — это константа Фейгенбаума α, а в наиболее удаленной точке — константа α². Чтобы полностью охарактеризовать весь набор масштабных соотношений, Фейгенбаум предложил ввести сигма-функцию σ(t), которая определяет свойства в разных точках траектории. На рисунке показан график этой функции, полученный в результате численного эксперимента. Из рисунка видно, что сигма-функция имеет фрактальную структуру и содержит разрывы во всех точках, представляемых в двоичной системе конечными дробями. Структурно она напоминает фрактал «дьявольская лестница» Кантора. Справедливы предельные соотношения

Эти две величины задают максимальное и минимальное значения из всего набора масштабных факторов и отвечают окрестности, соответственно, экстремума и крайней точки критического аттрактора.