Было предложено несколько геометрических моделей, описывающих структуру перколяционного кластера. Первой моделью такого рода была модель Скал — Шкловского — де Жена.

В 1974 году советские физики А. С. Скал и Б. И. Шкловский, а в 1976 году независимо от них французский физик Пьер Жиль де Жен, предложили модель, описывающую структуру остова перколяционного кластера в пренебрежении мертвыми концами. Модель была предложена, чтобы предсказывать и описывать такие свойства, как проводимость и эффект Холла. В этой модели предполагается, что кластер состоит из искривленных связей, соединенных узлами, образуя нерегулярную сверхрешетку с параметром ξ, т. е. ξ является средним геометрическим расстоянием между ближайшими узлами.

Перколяционный кластер в модели капель и связей. Показана только малая часть мертвых концов (тонкие линии). Капли представлены в виде окружностей. Расстояние между каплями и их диаметры имеют величину порядка корреляционной длины

Первые три шага построения иерархической модели

Несмотря на то что модель представляет ограниченный практический интерес, она имеет один важный аспект: является точной мерой плотности проводящих путей в типичном сечении образца. Это следует из того, что главное упрощающее предположение, сделанное в модели, является предположением о том, что в бесконечном кластере имеется только одна петля. Это справедливо только в случае больших размерностей (6 и выше). В случае малых размерностей кластер состоит из петель, находящихся внутри других петель, которые в свою очередь находятся в других петлях, и т. д. Это справедливо во всех размерностях, и среднее расстояние между независимыми проводящими путями равно ξ.

В 1977 году Стенли предложил модель капель и связей. Она подробно исследована в 1982 году Конильо. В этой модели предполагается, что возникающий бесконечный кластер состоит из фрагментов, в которых существуют многочисленные связи (капли), эти фрагменты соединены друг с другом одиночными связями.

Эта модель уже прямо указывает на фрактальную интерпретацию эффектов перколяции. Посмотрите на фрактал Мандельброта — Гивена. В структуре фрактала Мандельброта — Гивена можно обнаружить петли, ветви и мертвые концы всех размеров. Таким образом, фрактал содержит те же элементы, что и перколяционный кластер. Это одна из многочисленных фрактальных структур, которые успешно применяются для моделирования перколяционных кластеров, таких как «ковер Серпинского» или «губка Менгера».

Этапы построения фрактала Мандельброта — Гивена

Перколяция и гидродинамика Вселенной В. И. Арнольд, «Математическое понимание природы» 

В 1981 году вышла книга британского ботаника Джона Хатчинсона «Фракталы и самоподобие», в которой рассматривался новый метод преобразования изображений. В 1985 году Майкл Барнсли, ведущий исследователь компании «Georgia Tech», опубликовал работу, в которой он ввел в математику понятие системы итерируемых функций (СИФ). Преобразование образов с помощью систем итерируемых функций стало одним из наиболее замечательных и глубоких достижений в теории фракталов. С легкой руки Майкла Барнсли этот метод приобрел броское, почти рекламное обозначение. Его стали называть «игрой хаоса».

Прежде чем перейти к «игре хаоса», договоримся о понятии аффинного преобразования. Преобразования сжатия, растяжения, переноса и поворота объекта называются аффинными преобразованиями. Аффинные преобразования есть линейные преобразования в том смысле, что они могут быть представлены в виде линейной функции:

где параметр А задает аффинное преобразование, а В — перенос, или так называемую трансляцию образа.

Действие аффинного отображения на единичный квадрат ABCD

Аффинное преобразование на комплексной плоскости можно задать системой уравнений:

или матрицей:

В общем случае аффинное преобразование на плоскости определяется шестью независимыми действительными числами. Два числа е и ƒ описывают обычную трансляцию, а четыре числа а, b, с, d задают произвольное линейное преобразование при неизменном положении начала координат (0,0). Коэффициенты а, b, с, d, e, f можно считать символическим кодом некоторого аффинного преобразования. Каждая точка образа переводится посредством аффинной трансформации в новую точку на той же плоскости. Обычно преобразование образа сводится к нескольким аффинным преобразованиям, выполненным одно за другим. Коды всех преобразований можно представить в форме матрицы С:

Для примера рассмотрим треугольник Серпинского. Построение треугольника Серпинского можно описать простым геометрическим алгоритмом. Для начала из правильного треугольника удалим среднюю четверть в виде подобного ему правильного треугольника. С оставшимися тремя треугольниками повторим ту же процедуру. И так далее — с остающимися на каждом шаге треугольниками поступают аналогично.

Этот алгоритм можно формализовать с помощью трех аффинных преобразований:

Исходный блок может быть треугольником, но может иметь и любую другую форму. Форма блока не имеет значения. Пусть это будет квадрат. Преобразования ω будут смещать и уменьшать исходный квадрат:

Первые несколько итераций изображены на рисунке.

Теперь мы готовы рассмотреть «игру хаоса».

Суть предложенной Барнсли «игры» в том, что каждая строка матрицы С и, следовательно, каждое преобразование будет выбираться случайным образом с вероятностью р. Причем сумма вероятностей всех строк равна единице.

Для иллюстрации выберем на листе начальную точку — неважно, где именно. Придумываем два правила — для орла и для решки. Правила указывают, каким образом надо перемещать фишки, например: «переместиться на два дюйма на восток» или «приблизиться на 25% к центру». Подбрасывая монетку, начинаем отмечать точки на игровом поле. Используем правило орла, когда выпадает орел, и правило решки — когда выпадает решка. Если мы отбросим первые пятьдесят точек, то обнаружим, что точки на плоскости формируют фигуру, обычно — фрактал. Форма этой фигуры зависит только от установленных нами правил!

Рассмотрим еще один способ применения системы итерируемых функций. Возьмем кость. Вместо цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 на шести гранях нанесем всего три буквы х, у, z. Каждая из них будет повторяться дважды. На листе бумаги нарисуем треугольник, вершины которого обозначим теми же буквами х, у, z. Перед началом игры внутри треугольника отмечают произвольную начальную точку. После первого броска расстояние от исходной точки до вершины треугольника, обозначенной буквой, выпавшей при бросании кости, делят пополам и наносят первую точку. Далее алгоритм повторяется от этой точки и т. д. Постепенно на листе бумаги появляется известный фрактал Серпинского. Разумеется, для этой игры совершенно несущественно, чтобы исходный треугольник был равносторонним. С равным успехом «играть в хаос» можно с треугольником любой формы. Дело в том, что фрактал Серпинского является аттрактором для данного алгоритма.