В этом случае φ (х) линейно возрастает с увеличением х. Если х становится сравнимым с единицей, то членом Ьх³ пренебрегать уже нельзя. Здесь отклонение φ (х) начнет испытывать ограничение. При некоторых х значение φ (х) вновь будет близко к нулю, т. е. система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться. Это как изюминка в коме теста, которое перемешивает пекарь. В общем случае траектория, испытав действие механизма нелинейного ограничения, возвращается в окрестность исходного состояния. Этот процесс будет длиться и длиться без ограничений и без повторений.

В процессе перемешивания система «забывает» информацию о своем начальном состоянии. Грубо говоря, сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное ее местонахождение становится все более и более плотным множеством. Это означает, что потребуется более высокая точность в ее определении. Так, если мы поместим в стакан с водой капельку чернил и размешаем воду чайной ложкой, то чернила практически равномерно окрасят воду. Частички, первоначально сосредоточенные в капельке чернил, после перемешивания можно обнаружить в любой части стакана. Если до перемешивания чернила можно было зафиксировать координатой капельки чернил, то после перемешивания мы вынуждены говорить о фиксации молекул чернил. Согласитесь, что это совсем другой уровень точности. В этом смысле системе все труднее идентифицировать свое начальное состояние. Система как бы теряет память вследствие локальной неустойчивости, но при этом сохраняет «грубую» структурную устойчивость. Суть «грубой» устойчивости в том, что при малом изменении параметра изменяются детали поведения динамической системы, но принципиально режим поведения системы сохраняет свою грубую структурную идентичность.

Фракталам присущи эффекты, которые часто встречаются в природе: изрезанность, изломанность, комковатость. Вместе с тем, есть существенное отличие между строго самоподобной кривой фон Коха и, например, побережьем Норвегии. Последнее, не являясь строго самоподобным, проявляет подобие в статистическом смысле. Обе кривые при этом изломаны настолько, что ни к одной из их точек вы не сможете провести касательную, или, иными словами, не сможете ее дифференцировать. Такие кривые — своего рода «монстры» среди нормальных евклидовых линий.

В свое время Лагранж в течение десяти лет пытался доказать теорему о том, что любая непрерывная функция является гладкой, или, как говорят математики, — «дифференцируемой». Но у него не получилось. И вот на рубеже XIX и XX веков Карл Вейерштрасс построил парадоксальный пример функции, которая была непрерывной, но не являлась гладкой. Эта функция напоминала по форме пилу. Причем при увеличении перед глазами снова вырастает пила. Оказалось, что очевидные вещи надо доказывать. Очевидность не является критерием истины. И никогда не являлась.

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс первым построил непрерывную функцию, не имеющую касательной ни в одной своей точке. Его работа была представлена Королевской Прусской академии 18 июля 1872 года и опубликована в 1875 году. Вскоре после этого Шарль Эрмит, выдающийся математик своего времени, высказался эмоционально относительно непрерывных функций, не имеющих производных. Он сказал:

«С ужасом и омерзением я отворачиваюсь  от зловредной язвы — непрерывных функций,  не имеющих производных».

Функции, описанные Вейерштрассом, выглядят подобно шумам, приведенным на рисунке. В то же время между функциями Вейерштрасса и шумами есть существенное различие. Любая точка функции Вейерштрасса строго детерминирована, а точка на графике шума — случайна.

Такие случайные траектории скорее являются правилом, чем исключением.

Посмотрите на графики биржевых бюллетеней, сводку колебаний температуры или давления воздуха — и обнаружите некую регулярную изрезанность. Причем при увеличении масштаба характер изрезанности сохраняется. И это отсылает нас к фрактальной геометрии. Так, анализ траектории броуновского движения на плоскости показывает, что она имеет фрактальную размерность, равную двум, а фрактальная размерность границы броуновского движения частицы равна 1,33...

Броуновское движение — один из самых известных примеров стохастического процесса. В 1926 году Жан Перрен получил Нобелевскую премию за исследование характера броуновского движения. Именно он обратил внимание на самоподобие и недифференцируемость броуновской траектории. Еще в 1828 году шотландский ботаник Роберт Броун (1773-1858) описал, как частички пыльцы самопроизвольно перемещаются в пробирке с водой. Он объяснил свои наблюдения следующим образом:

«Эти чрезвычайно мелкие частицы твердой материи, полученные из органических или неорганических веществ, при растворении в чистой воде или в некоторых других жидкостях демонстрируют движение, для которого я не могу найти объяснения, которое по своей нерегулярности и видимой независимости в большой степени напоминает менее быстрые движения некоторых из простейших микроорганизмов. Эти мельчайшие наблюдаемые частицы перемещаются, я назвал их „активными молекулами", видимо, имеют сферическую или почти таковую форму и размер между 1/20000 и 1/30000 долями дюйма в диаметре; а другие частицы значительно большего и различного размера как подобных, так и очень отличающихся форм также демонстрируют аналогичные движения в подобных обстоятельствах. Я уже заявлял о своей уверенности в том, что эти движения частиц не являются ни результатом течений жидкости, содержащей их, ни внутреннего движения, сопровождающего ее испарение».

Вряд ли уместно пересказывать здесь те презабавные истории, которые породила причудливая пляска частиц цветочной пыльцы под микроскопом. Какие только фантастические интерпретации ни предлагались — от живых молекул, наделенных свободой воли, до прямого вмешательства сверхъестественных сил. Достаточно сказать, что когда Броун кипятил, замораживал и вновь нагревал жидкость, частицы все так же продолжали свою безумную пляску, весьма напоминающую столпотворение. Появилось объяснение: движение происходит из-за случайных колебаний водных молекул, бомбардирующих зерна пыльцы с различных направлений. Это тривиальное толкование скрывает самое интересное — то, что нашел Жан Батист Перрен. В своей известной работе «Les Atomes» он описал эффект самоподобия броуновских траекторий:

«И величина, и направление видимой средней скорости  частицы изменяются самым безумным образом, что  дает лишь слабое представление об изумительной запутанности реальной траектории. Если бы положения частицы регистрировались в 100 раз чаще, то вместо каждого отрезка прямой мы получили бы ломаную, столь же сложную, как и исходный рисунок, хотя и меньших размеров, и так далее. Нетрудно убедиться, что на практике понятие касательной в применении к таким кривым является полной бессмыслицей».

Масштабное самоподобие! Под микроскопом типичная траектория частицы пыльцы выглядит как изломанная лента из прямых звеньев. Но стоит только увеличить разрешение микроскопа, как каждый прямой участок превратится в новое скопление прямых звеньев. И это новое скопление будет подобно скоплению, зафиксированному на более грубом масштабе.

С появлением компьютеров стало возможным не только фиксировать стохастическое поведение в природе, но и моделировать стохастические процессы. Для этого применяются компьютерные генераторы случайных чисел, которые используют различные алгоритмы. Для примера опишем два.