Паралле'льное перенесе'ние, обобщение понятия параллельного переноса на пространства более сложной структуры, чем евклидовы (например, так называемые пространства афинной связности и, в частности, римановы пространства ). П. п. позволяет сравнивать геометрические образы, относящиеся к различным точкам пространства.

  На поверхности S в трёхмерном евклидовом пространстве (являющейся двумерным римановым пространством) П. п. определяется следующим образом. Пусть g — кривая на поверхности S, А и В — концы g; S — развёртывающаяся поверхность, которая является огибающей семейства касательных плоскостей, построенных в точках кривой g (см. рис. ). Тогда П. п. вектора а , заданного в касательной плоскости П_А в точке А, называется параллельный перенос этого вектора по развёрнутой на плоскость поверхности S с последующим приложением S к g. На рис. вектор а* представляет собой результат П. п. вектора а по поверхности S вдоль g. П. п. можно рассматривать как некоторое линейное преобразование касательной плоскости П_А в точке А в касательную плоскость Пв в точке В. Такое преобразование может быть описано с помощью формул, зависящих от Кристоффеля символов . Эти формулы обобщаются на римановы пространства большей размерности и на пространства аффинной связности; символы Кристоффеля соответственно могут быть вычислены с помощью метрического тензора (см. Риманова геометрия ) или задаются как исходные величины теории.

  Вообще говоря, результат П. п. вектора зависит не только от исходного вектора, начальной и конечной точек перенесения, но и от выбора самого пути перенесения.

  Если результат П. п. вектора не зависит от выбора пути, то пространство (по крайней мере, в достаточно малой окрестности) является аффинным или евклидовым и понятие П. п. совпадает с понятием параллельного переноса. См. также Связность и лит. при этой статье.

  Д. Д. Соколов.

Рис. к ст. Параллельное перенесение.

Паралле'льное соедине'ние в электротехнике, соединение двухполюсников (обычно или потребителей, или источников электроэнергии), при котором на их зажимах действует одно и то же напряжение. П. с.— основной способ подключения потребителей электроэнергии; при П. с. включение или выключение отдельных потребителей практически не влияет на работу остальных (при достаточной мощности источника). Токи в параллельно соединённых нагрузках (не содержащих источников эдс) обратно пропорциональны их сопротивлениям; общий ток П. с. равен сумме токов всех ветвей — алгебраической (при постоянном токе) или векторной (при переменном токе). П. с. источников электроэнергии, например генераторов на электростанции, применяют тогда, когда мощность одного источника недостаточна для питания всех нагрузок (см. также Электрическая цепь ).

Паралле'льности у'гол при точке А по отношению к прямой а , в геометрии Лобачевского острый угол, образованный прямой, проходящей через точку А параллельно прямой а, и перпендикуляром, опущенным из точки А на прямую а . См. Лобачевского геометрия .

Паралле'льные прямы'е в евклидовой геометрии, прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В абсолютной геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, проходит хотя бы одна прямая, не пересекающая данную. В евклидовой геометрии существует только одна такая прямая. Этот факт равносилен V постулату Евклида (о параллельных). В геометрии Лобачевского (см. Лобачевского геометрия ) в плоскости через точку С (см. рис. ) вне данной прямой AB проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих AB. Из них параллельными к AB называются только две. Прямая CE называется параллельной прямой AB в направлении от А к В , если: 1) точки В и Е лежат по одну сторону от прямой AC ; 2) прямая CE не пересекает прямую AB ; всякий луч, проходящий внутри угла ACE , пересекает луч AB . Аналогично определяется прямая CF , параллельная к AB в направлении от В к А .

Рис. к ст. Параллельные прямые.

Паралле'льные реа'кции, совместно протекающие химические реакции, у которых по крайней мере одно исходное вещество является общим (реже говорят о П. р. в случае разных исходных веществ и общего продукта). Примеры: нитрование фенола с образованием орто-, мета- и пара- нитрофенола (одни и те же исходные вещества), нитрование смеси бензола и толуола (общее исходное вещество — азотная кислота).

Паралле'льные тона'льности, в диатонической системе мажора и минора две тональности противоположного наклонения, имеющие один и тот же звукоряд (одинаковые знаки при ключе); тонические трезвучия П. т. включают общую большую терцию. П. т. находятся в ближайшем родстве друг с другом. На основе общности звукового состава П. т. могут объединяться в параллельно-переменный лад (например, в русской народной песне). В современной музыке в результате развития гармонической системы соотношение П. т. усложняется (в частности, в рамках смешанной мажоро-минорной и хроматической систем).

  Лит.: Способин И. В., Элементарная теория музыки, 6 изд., М., 1973.

Паралле'льный перено'с, преобразование пространства или его части (например, переход от одной фигуры к другой), при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Совокупность всех П. п. как на плоскости, так и в пространстве образует группу , которая в евклидовой геометрии является подгруппой группы движения , а в аффинной геометрии — подгруппой группы аффинных преобразований .