j_i (t + t ) = j_i (t )

где t > 0—период решения. Если система (1) стационарна, то есть функции f_i = F_i (y_i ,.... y_n ), где i = 1,..., n , явным образом не зависят от t , то в фазовом пространстве (y_i ,..., y_i ) П. р. отвечают замкнутые траектории. В частном случае эти траектории могут вырождаться в точки покоя

, где , которым соответствуют тривиальные (постоянные) П. р. Что касается нетривиальных П. р., то задача о нахождении их решена лишь для дифференциальных уравнений специальных типов.

  В теории нелинейных колебаний особое значение имеет система двух уравнений

 

,  (2)

фазовым пространством которой является плоскость (х , у ). Точки покоя системы (2 ) находятся из системы уравнений: Р (х , у ) = 0, Q (x , у ) = 0. Система (2 ) заведомо не допускает нетривиальных П. р., если

 (критерий Бендиксона). Обычным приёмом обнаружения нетривиальных П. р. системы (2 ) (если они существуют) является построение такой ограниченной кольцеобразной области K (см. рис. ), что все траектории входят в неё при t ® +¥ или при t ® -¥ ; если область К не содержит точек покоя системы (2 ), то в К обязательно найдётся замкнутая траектория, которой соответствует нетривиальное П. р. (принцип Пуанкаре — Бендиксона). Другой подход к обнаружению П. р. даёт изучение поведения решений в окрестностях особых точек; именно, в окрестности центра интегральные кривые системы (2 ) замкнуты и им соответствуют нетривиальные П. р.

  Лит.: Немыцкий В. В. и Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1949; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, пер. с англ., 2 изд., М., 1953.

Рис. к ст. Периодические решения.

Периодический закон Менделеева

Периоди'ческий зако'н Менделе'ева, фундаментальный закон, устанавливающий периодическое изменение свойств химических элементов в зависимости от увеличения зарядов ядер их атомов. Открыт Д. И. Менделеевым в 1869 при сопоставлении свойств всех известных в то время элементов и величин их атомных весов. Термин «периодический закон» Менделеев впервые употребил в ноябре 1870, а в октябре 1871 дал окончательную формулировку П. з.: «... свойства элементов, а потому и свойства образуемых ими простых и сложных тел, стоят в периодической зависимости от их атомного веса» («Периодический закон. [Основные статьи]», 1958, с. 111). Графическим (табличным) выражением П. з. явилась разработанная Менделеевым периодическая система элементов .

  Физический смысл П. з. был вскрыт лишь после выяснения того, что заряд ядра атома возрастает при переходе от одного химического элемента к соседнему (в периодической системе) на единицу элементарного заряда. Численно заряд ядра равен порядковому номеру (атомному номеру Z) соответствующего элемента в периодической системе, то есть числу протонов в ядре, в свою очередь равному числу электронов соответствующего нейтрального атома (см. Атом ). Химические свойства атомов определяются структурой их внешних электронных оболочек, периодически изменяющейся с увеличением заряда ядра, и, следовательно, в основе П. з. лежит представление об изменении заряда ядра атомов, а не атомной массы элементов. Наглядная иллюстрация П. з.— кривые периодические изменения некоторых физических величин (ионизационных потенциалов, атомных радиусов, атомных объёмов) в зависимости от Z (см. Атомная физика ). Какого-либо общего математического выражения П. з. не существует.

  П. з. имеет огромное естественнонаучное и философское значение. Он позволил рассматривать все элементы в их взаимной связи и прогнозировать свойства неизвестных элементов. Благодаря П. з. многие научные поиски (например, в области изучения строения вещества — в химии, физике, геохимии, космохимии, астрофизике) получили целенаправленный характер. П. з.— яркое проявление действия общих законов диалектики, в частности закона перехода количества в качество.

  Лит. см. при ст. Периодическая система элементов .

Периодичность плодоношения

Периоди'чность плодоноше'ния, неежегодное плодоношение плодовых и лесных пород. Обычно в молодом возрасте все плодовые деревья дают урожай ежегодно, но по мере старения плодоносят периодично, часто через год. Молодые деревья при низком уровне агротехники также плодоносят периодично. У косточковых и ягодных культур урожай образуется, как правило, ежегодно. П. п. лесных (например, хвойных — сосна, ель и др.) и плодовых пород в сильной степени зависит от климатических условий и уменьшается с З. на В. При правильном уходе за плодовым садом в клетках растений создаётся необходимая концентрация питательных веществ, особенно белковых, а также оптимальное соотношение углеводов и азота, что стимулирует закладку цветковых почек в год урожая для плодоношения в следующем году, то есть обеспечиваются ежегодные урожаи. Для получения хорошего урожая высококачественных плодов ежегодно требуется, чтобы на каждый плод приходилось 30—60 листьев. Это возможно, если дерево имеет много однолетних побегов, их образование — важный фактор высокой урожайности. Умеренное цветение — одно из главных условий ежегодного плодоношения (только умеренно цветущее дерево способно дать высокий урожай и заложить цветковые почки для урожая следующего года). К обильно цветущим семечковым породам (яблоня, груша) применяется нормировка (удаление с помощью ростовых веществ) излишка цветков или завязавшихся плодов на ранней стадии их развития с целью сохранения питательных веществ для формирования оставленных плодов. П. п. зависит от сорта — одни сорта яблони (Славянка, Пепин шафранный) дают урожай ежегодно, другие (Антоновка обыкновенная, Анис полосатый) требуют для этого дополнительных мер ухода, третьи (Кандиль синап, Грушовка московская) имеют резко выраженную П. п. Агротехника и подвои, на которые привиты сорта, также влияют на П. п.

  Лит.: Плодоводство, под ред. В. А. Колесникова, 2 изд., М., 1966.

  В. А. Колесников.

Периодонтит

Периодонти'т (от пери... и греч. odús, родительный падеж odóntos — зуб), воспаление корневой оболочки зубов и примыкающих к ней тканей. Обычно является следствием кариеса зубов и возникает при проникновении инфекции из корневого канала через отверстие на верхушке корня. Может развиться также вследствие часто повторяющейся травмы зуба (например, привычка покусывать твёрдые предметы — мундштук трубки, карандаш и т.п. или профессиональные навыки — перекусывание нитки, захватывание зубами гвоздей и др.). Различают острый и хронический П. Острый П. проявляется резкими болями в области зуба, усиливающимися при прикосновении к нему; нередко припухает десна, губа или щека, зуб становится подвижным, увеличенные подчелюстные лимфатические узлы — болезненными, иногда повышается температура тела. Процесс может осложниться остеомиелитом челюсти, гнойным воспалением мягких тканей лица и шеи, острым сепсисом . При хроническом П. обычно отмечаются чувство неловкости при еде, неприятный запах изо рта, иногда — свищи на десне и коже лица. Хронический П. может привести к образованию кисты челюсти. П. может служить источником стрептококковой сенсибилизации организма. Лечение обычно консервативное, завершающееся пломбированием корневых каналов; нередко удаление зуба; при образовании гнойника — его вскрытие; при выраженных общих явлениях — антибиотики.