Существуют интерпретации проективной плоскости, не привлекающие бесконечно удалённых элементов. Например. пусть R³ — евклидово пространство и О — точка в нём. Обозначим через П множество прямых, проходящих через О ; точкой в П назовем евклидову прямую, проходящую через О , а прямой в П — множество евклидовых прямых, проходящих через О и лежащих в одной плоскости. Тогда П удовлетворяет аксиомам проективной плоскости.

  Координаты на проективной плоскости можно ввести, например, следующим образом. Пусть П' — проективная плоскость, соответствующая евклидовой плоскости П, и пусть на П задана декартова система координат. Если М (х, у ) — точка плоскости П, то однородными координатами точки М называются любые три числа (x¹ , x² , x³ ) такие, что x¹ /x³ = х , x² / x³ = у. Если ¥ — несобственная точка плоскости П , то через неё проходит пучок параллельных прямых; однородными координатами точки ¥ называются любые три числа (x¹ , x² , x³ ), первые два из которых суть координаты вектора, параллельного этим прямым, а x³ = 0. Т. о., однородные координаты точки из П' представляют собой тройку чисел, не равных одновременно нулю. Любая прямая на проективной плоскости определяется линейным однородным уравнением u₁ x¹ + u₂ x² + u₃ х³ = 0 между однородными координатами точек этой прямой, и обратно: всякое такое уравнение определяет прямую. Числа (u₁ , u₂ , u₃ ), не равные одновременно нулю, называются однородными координатами прямой. Уравнение несобственной прямой имеет вид x³ = 0. Если рассматривать проективную плоскость П' как пучок прямых в пространстве, то однородные координаты получают прозрачный геометрический смысл — это координаты какого-нибудь направляющего вектора прямой, изображающей точку проективной плоскости. Аналогичным образом вводятся координаты и в проективном пространстве.

  Одним из замечательных положений П. г. является принцип двойственности. Говорят, что точка и прямая инцидентны, если точка лежит на прямой (или прямая проходит через точку). Тогда оказывается, что если верно некоторое предложение А о точках и прямых проективной плоскости, сформулированное только в терминах инцидентности между ними, то будет верно и предложение В , двойственное предложению А , т. е. предложение, которое получается из А заменой слова «точка» на слово «прямая», а слова «прямая» на слово «точка». См. Двойственности принцип .

  Важную роль в П. г. играет теорема Дезарга: если соответствующие стороны двух треугольников ABC и A'B'C' (рис. 4 ), лежащих в одной плоскости, пересекаются в точках Р, Q, R, лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке О , и обратно: если прямые, соединяющие соответствующие вершины треугольников ABC и A'B'C' , лежащих в одной плоскости, сходятся в одной точке, то соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой. Обратная теорема Дезарга двойственна прямой теореме по принципу двойственности. Интересно, что эту теорему нельзя доказать лишь на основе аксиом инцидентности проективной плоскости, однако она справедлива на любой проективной плоскости, которая лежит в проективном пространстве,— такова, например, действительная проективная плоскость. Первый пример недезарговой проективной плоскости дал Д. Гильберт.

  Выполнение теоремы Дезарга необходимо и достаточно для введения координат на проективной плоскости синтетическим путём. Это делается с помощью так называемого исчисления вурфов; оно состоит в том, что на проективной прямой вводятся операции сложения и умножения точек, превращающие её в тело k. Построение осуществляется с помощью полных четырёхвершинников — плоских фигур, составленных четырьмя точками, из которых никакие три не лежат на одной прямой (рис. 5 ), и шестью прямыми, соединяющими попарно эти точки; такая конфигурация позволяет определить чисто проективно понятие гармонической четвёрки точек. Двойственным образом с использованием полных четырехсторонников устанавливаются операции сложения и умножения в пучке прямых.

  Свойства проективной прямой, как алгебраической системы, определяются, с одной стороны, геометрическими свойствами проективной плоскости, в которой она расположена. Так, например, коммутативность тела равносильна выполнению т. н. аксиомы Паппа: если / и /' — две различные прямые, А , В , С и A' , B' , С' — тройки различных точек прямых / и l' соответственно, то точки пересечения прямых AB' и A'B, AC' и A'C, BC' и B'C лежат на одной прямой; тело k имеет отличную от двух характеристику тогда и только тогда, когда диагональные точки Р, О, R полного четырёхвершинника ABCD не лежат на одной прямой [Р , О , R определяются как точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, AD и BC соответственно (рис. 5 )]. С др. стороны, в зависимости от выбора исходного тела k определяются различные проективные плоскости П_k как совокупности классов пропорциональных троек элементов тела k [за исключением тройки (0, 0, 0)]. Такой аналитический подход наряду с синтетическим с успехом применяется для изучения проективных свойств кривых и поверхностей. Аналогичные построения можно провести и для проективного пространства.

  Линией второго порядка на проективной плоскости называют объект, определяемый с точностью до множителя пропорциональности классом однородных уравнений второй степени:

a₁₁ (x¹ )² + a₂₂ (x² )² + a₃₃ (x³ )² + 2a₁₂ x¹ x² + 2a₂₃ x² x³ + 2a₃₁ x³ x¹ = 0.

  Всякая нераспадающаяся линия второго порядка на действительной проективной плоскости (овальная линия) есть либо эллипс, либо гипербола, дополненная несобственными точками её асимптот, либо парабола, дополненная несобственной точкой её диаметров. Распадающаяся линия второго порядка состоит из двух прямых (различных или совпадающих) или одной точки. Наконец, возможна нераспадающаяся линия второго порядка, не содержащая действительных точек. Этим исчерпывается проективная классификация всех линий второго порядка. Фигурой, двойственной линии второго порядка, является пучок прямых второго класса — объект, определяемый классом пропорциональных однородных уравнений второй степени в координатах (u₁ , u₂ , u₃ ). Огибающая невырожденного пучка прямых есть линия второго порядка.

  Если на проективной плоскости заданы пять точек, из которых никакие четыре не лежат на одной прямой, то существует и притом только одна линия второго порядка, проходящая через эти точки. Точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в линию второго порядка, лежат на одной прямой (теорема Паскаля) (рис. 6 ). В случае распадающейся линии второго порядка эта теорема сводится к утверждению, формулируемому аксиомой Паппа. Двойственной теореме Паскаля является теорема Брианшона: диагонали, соединяющие противоположные стороны шестисторонника, описанного около овальной линии второго порядка, проходят через одну точку (рис. 7 ). См. также Полюсы и поляры .