либо с помощью неопределенных коэффициентов метода . Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х — х .

  Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом . Теоретическое обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре .

  К численным методам относятся методы, позволяющие находить П. р. при некоторых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.

  Поясним эти методы на примере уравнения

y’ ’ = f (x, у )

с начальным условием у (х ) = y . Пусть точное решение этого уравнения представлено в некоторой окрестности точки х в виде ряда по степеням h = х — х Основной характеристикой точности формул П. р. дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h П. р. совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения.

  Основная идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у (х ) в точках x₁ , x₂ ,..., x_n некоторого фиксированного отрезка [х , b ] Так, для того чтобы вычислить у (х₁ ), где х₁ = х + h, h = (b — x )/n, представляют у (х₁ ) в виде конечного числа членов ряда по степеням h = х₁ — х . Например, ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у (xk ) формулы:

Это т. н. метод ломаных Эйлера (на каждом отрезке [xk_, x_k+1 ] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком — звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h² .

  В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f (x, у ) в некоторых точках, которая даёт с определённой точностью несколько первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Например, правая часть формулы Рунге:

где

дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h⁵ .

  В разностных формулах П. р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у (xi ), h_i и разностей Dⁱ h_j , где

h_j = hf (x_j , y_j ); Dh_j = h_j+1 - h_j ;

Dⁱ h_j = D^i-1 h_j+1 - D^i-1 h_j .

  Примером разностной формулы П. р. является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая «разности» 3-го порядка:

даёт решение у (х ) в точке x_k с точностью до величин порядка h⁴ .

  Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения

Формула	k = 2	k = 3	k = 4
(1 + x )3 » 1 + 3x	0,04	0,012	0,004
	0,06	0,022	0,007
	0,19	0,062	0,020
	0,20	0,065	0,021
	0,31 (17°48')	0,144 (8°15')	0,067 (3°50')
	0,10 (5°43')	0,031 (l'48')	0,010 (0°34')
	0,25 (14°8')	0,112 (6°25')	0,053 (3°2')
	0,14	0,47	0,015
	0,04	0,014	0,004
	0,25	0,119	0,055

формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:

особенно удобную для решения уравнений вида у'' = f (x, у ). По этой формуле находят D²y_n-1 , а затем y_n+1 = y_n +Dy_n+1 + D²y_n-1 . Найдя y_n+1 , вычисляют y’’_n+1 = f (x_n+1 ,y_n+1 ), находят разности и повторяют процесс далее.

  Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.

  Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.

  Кроме аналитических и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления ).